逆数の期待値の計算方法を教えてください

質問

負の二項分布関数を使ってn回の成功が起こるまでの試行回数Xの逆数の期待値を計算したいのですが、どのように計算してよいか分からないので分かる方がいらっしゃいましたら教えください。

成功確率をpとすると、n回の成功が起こるまでにX回の試行を要する確率P(X)がP(X)=(X-1, n-1)p^n(1-P)^(n-X)となり、試行回数Xの期待値がn/pになることは計算で確認できました。しかし、1/Xの期待値計算を試みたところ、うまい計算方法が見つかりません。

当初は単純にXの期待値の逆数になるかと思っていたのですが、エクセルで数値的に1/Xの期待値を計算してみると、Xの期待値の逆数には一致しないことがわかりました。

1/Xの期待値が分かる方いらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

E(1/X)=ΣPk/kを計算するしかないと思います。

一般的にE(1/X)=1/E(X)とならないことは、
Σpk/k=1/Σkpk
とはならないことから分かると思います。

Xと1/Xが独立ならば、E(X)E(1/X)=E(X・1/X)=E(1)=1からE(1/X)=1/E(X)
ですが、もちろんXと1/Xは独立ではありません。

お礼

そうですか。やはり、数値計算する以外ないようですね。

成功回数nが増えてくると、エクセルで数値計算するのも面倒になってくるので、なんとか期待値の数式を導き出したかったのですが残念です。

回答どうもありがとうございました。