大学の積分について

質問

∫√（x^2＋a）dx=1/2(x√(x^2＋a)＋alog｜x＋√(x^2＋a)｜)
を証明するにはどうすれば良いですか。

回答No.3

Tacosan

右辺を微分して左辺の被積分関数になればいいのでは?

回答No.2

rabbit_cat

ちなみに、このサイトに入れて、
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB%E2%88%9A%28x%5E2%2Ba%29dx
Show stepsというのを押すと、計算過程を教えてくれるんですが、
ここだと、x=√a*tan(t)と置換しているようですね。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

rabbit_cat

x=√a*sinh(t)
と置換します。
∫√（x^2＋a）dx
= ∫a*cosh^2(t) dt
= ∫a*{cosh(2t)+1}/2 dt
= a*{sinh(2t)/4 + x/2}
= …　（これをxの式に戻す）

あるいは、最初に部分積分すると、ちょっとだけ計算が楽になります。
∫√（x^2＋a）dx
= x√（x^2＋a）- ∫x^2/√（x^2＋a）dx
= x√（x^2＋a）- ∫x^2/√（x^2＋a）dx
= x√（x^2＋a）- ∫(x^2+a)/√（x^2＋a）dx + ∫a/√（x^2＋a）dx
= x√（x^2＋a）- ∫√（x^2＋a）dx + ∫a/√（x^2＋a）dx
したがって
∫√（x^2＋a）dx = 1/2{ x√（x^2＋a) + ∫a/√（x^2＋a）dx}
右辺２項目の積分は、同様にx=√a*sinh(t)と置換します。

お礼

ありがとうございます助かりました