積分（基礎）

質問

こんにちは。
簡単な質問なのですが。
∫(1/√(A^2+x^2)　dxの結果は教科書に載っているのですが証明方法は結果を微分すればなることが載っているのですが、置換積分を使うなど結果からではなく証明したいのです。何か方法などがあったら教えてください。

回答No.2

inara1 · ベストアンサー

A > 0 なら以下のように置換するといいでしょう。
　　　x = A*sinh(t)
すると、 dx = A*cosh(t) dt、√( A^2 + x^2 ) = A*cosh(t) なので
　　　∫1/√( A^2 + x^2 ) = ∫dt = t + C = arcsinh( x/A) + C
です。これでは答えになっていないのなら、さらに簡単にもできます。

x = A*sinh(t) = ( A/2 )*{ e^t - e^(-t) } なので、X = e^t とおけば、この式は X に関する２次方程式なので簡単に解けて
　　　X = x/A ±√( x^2/A^2 + 1 )
となります。ここで X = e^t > 0 なので解は
　　　X = x/A +√( x^2/A^2 + 1 )
だけになります。X = e^t なので
　　　t = ln(X) = ln{ x/A + √( x^2/A^2 + 1 ) } = ln[ { x + √( x^2 + A^2 ) }/A ]
∫1/√( A^2 + x^2 ) = ∫dt = t + C = ln[ { x + √( x^2 + A^2 ) }/A ] + C = ln[ { x + √( x^2 + A^2 ) } + C'

このような置換は簡単には思いつかないので、次の不定積分は覚えておいたほうがいいです。
　　　∫dx/√( 1 + x^2 ) = arcsinh( x ) + C
　　　∫dx/√( 1 - x^2 ) = arcsin( x ) + C
この公式から置換の式を類推できるはずです。

お礼

置き方のほかに計算の仕方、覚えておいたほうが良い式まで教えていただけてすごくありがたいです。
本当にご親切にありがとうございます。

回答No.1

nious

他にもっと簡単な方法がありそうですが、
とりあえず x=A*tan(θ)と置換して dx=(A/cos^2(θ))dθ より、
(A/|A|)∫dθ/cos(θ) はできるでしょう。

お礼

このような方法もあるのですね！
わざわざ回答して頂いてありがとうございます。
もうじきテストなので頑張ります！！