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にゃんこ先生の自作問題、四角形の対角線の交点をベクトルで表したときに見つけた等式

2009/10/20 23:55

にゃんこ先生といいます。平面上に四角形ABCDがあるとします。4点は順に左回りとします。また、同じ平面上に原点Oがあって、ベクトルOA=aなどと、矢印を省いて書くことにします。直線ACと直線BDの交点Pを書き表したいと思います。 AP：PC=△ABD：△BCDから、 p=(△BCD/□ABCD)a+(△ABD/□ABCD)c と書けます。ここで、2次元ベクトルの第三成分を0として、3次元ベクトルとみなします。すると、外積を用いて、 △BCD=|(c-b)×(d-b)|/2=|b×c+c×d+d×b|/2 などとなります。三角形の面積を符号付面積と考えて、 △BCD=△OBC+△OCD+△ODB=|b×c+c×d+d×b|/2 と考えることも出来ます。したがって、整理して、 (|a×b+b×c+c×d+d×a|)p=|b×c+c×d+d×b|a+|a×b+b×d+d×a|c となります。また、図から、 (|a×b+b×c+c×d+d×a|)p=|a×c+c×d+d×a|b+|a×b+b×c+c×a|d となります。したがって、 |b×c+c×d+d×b|a+|a×b+b×d+d×a|c=|a×c+c×d+d×a|b+|a×b+b×c+c×a|d という等式を見つけたのですが、これだけ見て、代数的に等しいことを示すにはどうやったらよいのでしょうか？また、3次元空間で、平面ABCD外に原点Oがあって、ベクトルOA=aなどと、矢印を省いて書くことにします。 AP：PC=△ABD：△BCD=四面体OABD：四面体OBCD で、四面体OBCD=det(b,c,d)/6=(b×c)・d/6 となることから、 det(b,c,d)a+det(a,b,d)c=det(a,c,d)b+det(a,b,c)d や {(b×c)・d}a+{(a×b)・d}c={(a×c)・d}b+{(a×b)・c}d という等式を見つけたのですが、これだけ見て、代数的に等しいことを示すにはどうやったらよいのでしょうか？いいアイデアがありましたら教えてください。 △ABCなどの面積を、平面ベクトルa,b,cと内積,根号を用いて、 (2△ABC)^2=|a-c|^2*|b-c|^2-{(a-c)・(b-c)}^2 =(a^2)(b^2)+(b^2)(c^2)+(c^2)(a^2)-2(a^2)(bc)-2(b^2)(ca)-2(c^2)(ab)-(ab)^2-(bc)^2-(ca)^2+2(ab)(ca)+2(bc)(ab)+2(ca)(bc) ただし、a・a=a^2、bc=b・cなどと略記と表されることからも等式が見つかります。複雑すぎて等式を書くことはしませんが、その等式だけ見て、代数的に等しいことを示すにはどうやったらよいのでしょうか？