大学の数学の問題なんですが……。

質問

暇のある方、この問題の解き方を教えてください！

f(x,y)=
(x,y)≠(0,0)のとき　x|y|/√(x^2+y^2)　
(x,y)=(0,0)のとき 　 0
fは(0,0)において連続であることを示せ。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#1さんが言っておられるように
(x,y)を極座標に変換してr→0の関数値とr=0における関数値が一致することを
示せばいいかと思います。

x=r*cosθ,y=r*sinθ(r＞0,0≦θ＜2π)とおくと
f(x,y)=r*cosθ*|sinθ|=g(r,θ)
(x,y)→(0,0)のとき r→0 で f(x,y)→g(0,θ)=0(θ任意)
f(0,0)=g(0,θ)=0
従って(x,y)=(0,0)で連続。

[確認]
f(x,y)をg(r,θ)に変換してg(r,θ)を3次元プロットすると
添付図のようになる。原点(x,y)=(0,0)で連続になっていますね。

回答No.4

nag0720

＃２です。訂正

x≠0　のとき、x＜0の場合がもれてました。

x＞0　のとき、
f(x,y)＝|y|/√(1+(y/x)^2)≦|y|
∴0≦f(x,y)≦|y|
x＜0　のとき、
f(x,y)＝-|y|/√(1+(y/x)^2)≧-|y|
∴-|y|≦f(x,y)≦0

以上より、
lim[x→0,y→0]f(x,y)=0

回答No.2

nag0720

x＝0　のとき、
f(x,y)＝0
x≠0　のとき、
f(x,y)＝|y|/√(1+(y/x)^2)≦|y|
∴0≦f(x,y)≦|y|

以上より、
lim[x→0,y→0]f(x,y)=0

回答No.1

m0r1_2006

原点に角度 theta で近づくように
(x,y) = (0,0) + r(cos theta , r sin theta)
r>0, 0 <= theta < 2pi
として，

f(x,y) が r を 0 に近づけたときに
theta によらず，
f(0,0) になることを示す．