数学 偏微分

質問

数学(微積分)の問題です
f(x、y)=x2y/x4＋y2 (2乗、4乗です)

この関数が連続かどうかという問題ですが、わからないので教えて下さい

回答No.1

info22_

>2乗、4乗です
平文で書くには以下のように書いてください。

>f(x、y)=x^2*y/(x^4＋y^2)

なら、結論から言うと「原点O(0,0)で不連続」です。

原点(0,0)でf(x,y)は未定義です。
lim[(x,y)→(0,0)]f(x,y)
=lim(t→0)f(t,t^2)=lim(t→0)t^4/(2t^4)=1/2
lim[(x,y)→(0,0)]f(x,y)
=lim(t→0)f(t,-t^2)=lim(t→0)-t^4/(2t^4)=-1/2
なので
f(x,y)は原点(0,0)で未定義、また原点の近傍で一定の値をとりません。つまり、原点(0,0)でf(x,y)で不連続である。となります。
原点(0,0)以外では、f(x,y)は連続です。

参考までに、z=f(x,y)のグラフを添付しますので原点付近で不連続であることを確認ください。