数列です

質問

Σ^n_k=1 2/k(k+2)の和を求めろ。です
見にくくなるのでΣの後の^n_k=1は省きます

Σ2/k(k+2)
=Σ{(1/k)-1/(k+2)}

まで考えたのですがΣ1/kをどう処理していいのかわかりません。
Σk=n/2(n+1)からΣ1/k=1/{n/2(n+1)}としたのですが最終的な答えが違ってしまいます。
考え方が違うとか見落としている項目があるなどありましたら
どなたか教えてください。お願いします。

回答No.1

himajin100000 · ベストアンサー

=Σ{(1/k)-1/(k+2)}

これはつまり

a[1] = 1 - 1/3
a[2] = 1/2 - 1/4
a[2]までの和 → 1 + 1/2 - 1/3 - 1/4
a[3] = 1/3 - 1/5
a[3]までの和 → 1 + 1/2 - 1/4 - 1/5
a[4] = 1/4 - 1/6
a[44]までの和 → 1 + 1/2 - 1/5 - 1/6
ということは n >= 2のとき
a[n]までの和 →1/n - 1/(n+2) → 1 + 1/2 - 1/(n+1) - 1/(n+2)
と予測できそうだ。

(帰納法省略)

これを展開して

3n^2 + 5n
-------------------------------------
2(n + 1)(n + 2)

これはn = 1のときも満たす。(ともに2/3)

お礼

ありがとうございます。
簡単でしたね。
今度からもっと考えてもわからなかったら投稿しようと思います。反省

回答No.2

kiyokiyoma

Σ{(1/k)-1/(k+2)}
まで分解できたのなら、あともう少し。
ｋに１、２、３、・・・と順に代入して書いてみましょう。
（６まで代入すれば何かわかると思います）

わからないときは、代入して予想してみることも大切です。

お礼

ありがとうございました。
わかりやすかったです。