発散か収束かの問題(1)

質問

1) Σ(n=1→∞) ne^(-n^2)
2) Σ(k=1→∞) 1/(k ln(k))

これらはどうすれば解けるでしょうか？？
思いつかないのでヒントだけでもいいので
教えてください。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

1) Σ(n=1→∞) ne^(-n^2)
＜∫(1→∞) xe^(-x^2)dx
と置き換えれば、
x＾2=z, 2xdx=dz
∫(1→∞) xe^(-x^2)dx
=(1/2)∫(1→∞) e^(-z)dz
=(-1/2) e^(-z)|(1→∞)=(1/2e)
積分できるのですから収束ですね。

2) Σ(k=1→∞) 1/(k ln(k))
k=1 の時、1/(1*ln(1)) ＝1/0＝∞
だから発散だよね。
＜∫(1→∞)(1/x)*(1/ln(x))dx
ln(x)=z, x=e＾z, dx=e＾zdz
=∫(0→∞)(1/e＾z)*(1/z)*e＾zdz
=∫(0→∞)(1/z)dz=ln(z)｜(0→∞)

という方法もありますね。参考程度に