問題集の解答が無くて困っています

質問

以下の設問の解答が分からなくて困っています
(1)lim[n→∞]Σ[k=1..n] k/n^2 log ((n+k)/n)を求めよ
(2)長さ2の線分ABを直径とする半円周をA=P(0),P(1),...P(n)=Bでn等分する。
　三角形AP(k)Bの三辺の長さの和をAP(k)+P(k)B+BAをln(k)とするとき、ln(k)をn,k,πを含む　式で表せ
(3) (2)のとき、極限値 lim[n→∞] ｛ln(1)+ln(2)+...ln(n)｝/n　を求めよ

よろしくお願いします

回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

(1)
f(x)=xlog(1+x)
x_k=k/n,(k=1～n)
Δx=1/n
とすると
lim_{n→∞}Σ_{k=1～n}k/n^2log((n+k)/n)
=lim_{n→∞}Σ_{k=1～n}f(x_k)Δx
=∫_{0～1}f(x)dx
=∫_{0～1}xlog(1+x)dx
=[{(x^2)/2}log(1+x)]_{0～1}-(1/2)∫_{0～1}(x^2)/(1+x)dx
=(log2)/2+(1/2)∫_{0～1}{1-x-1/(1+x)}dx
=(log2)/2+(1/2)[x-x^2/2-log(1+x)]_{0～1}
=(log2)/2+1/4-(log2)/2
=1/4

(2)
△AP(k)Bは
∠AP(k)B=π/2=直角
の直角三角形で
∠P(k)OA=kπ/n
∠P(k)BA=kπ/(2n)
|BA|=2
だから
|AP(k)|=|AB|sin(∠P(k)BA)=2sin{kπ/(2n)}
|P(k)B|=|AB|cos(∠P(k)BA)=2cos{kπ/(2n)}
だから
Ln(k)
=|AP(k)|+|P(k)B|+|BA|
=2sin{kπ/(2n)}+2cos{kπ/(2n)}+2

(3)
lim_{n→∞}Σ_{k=1～n}Ln(k)/n
=lim_{n→∞}Σ_{k=1～n}[2sin{kπ/(2n)}+2cos{kπ/(2n)}+2]/n
↓f(x)=sin(xπ/2)+cos(xπ/2)
↓x_k=k/n,(k=1～n)
↓Δx=1/n
=2+2lim_{n→∞}Σ_{k=1～n}f(x_k)Δx
=2+2∫_{0～1}f(x)dx
=2+2∫_{0～1}{sin(xπ/2)+cos(xπ/2)}dx
=2+2(2/π)[-cos(xπ/2)+sin(xπ/2)]_{0～1}
=2+(8/π)

回答No.1

tmppassenger

問題集に解答がないのはともかく、あなたの解答を一度書いてもらますか。
少なくともどこまでは分かって、何が分からないかは補足にください。