数学の質問です

質問

∫(sin(x)^2 + cos(x)^2)／sin(x)^2 dx
= ∫(- (cos(x))’sin(x) + cos(x) (sin(x))’)／sin(x)^2 dx
= ∫- (cos(x)／sin(x))’dx
という変形をもう少し丁寧にできませんか？

回答No.1

-somebody- · ベストアンサー

∫(sin(x)^2 + cos(x)^2)／sin(x)^2 dx
= ∫(- (cos(x))’sin(x) + cos(x) (sin(x))’)／sin(x)^2 dx
= ∫- (cos(x)／sin(x))’dx

という変形をもう少し丁寧にできませんか？

この変形をこれ以上(式変形の過程を)丁寧にするのは多分難しいと思います。

微分・積分の式変形は
「こうすればうまくいく」
という結果論で大体が決まってしまっているので
微分「法」・積分「法」
(微分の(こうしたらうまくいく)方法・積分の(こうしたらうまくいく)方法)
と名前が付いているのだと昔教わったことがあります。

そういうわけで
sinx・cosx・tanx・1/tanxの微分・積分の結果はぜひとも覚えておいたほうがいいと思いますよ。

∫(sin(x)^2 + cos(x)^2)／sin(x)^2 dx
= ∫(- (cos(x))’sin(x) + cos(x) (sin(x))’)／sin(x)^2 dx
(この形にすることで商の導関数の形を作っている。「こうすればうまくいく方法」の一例ですね。)
= ∫- (cos(x)／sin(x))’dx

回答No.2

spring135

∫(sin(x)^2 + cos(x)^2)／sin(x)^2 dx
=∫1／sin(x)^2 dx
=-cot(x)

QED