数学

質問

数学の問題を解いているのですが，途中までしかできませんでした．続きをだれか教えていただけませんか．
（１）1+sin^2 θ=3sinθcosθが成り立つとき，tanθの値を求めよ．
（２）f(x)=sin^2 x+4sinxcosx-3cos^2 xについて，次の各問いに答えよ．
　　　1：f(x)=a(sinbx+p)+qの形にせよ．
　　　2：f(x)=1を解け．ただし，0≦x≦πとする．
（３）不等式｜cosθ｜≦sin|θ｜ （－π≦θ≦π）を解け．

解答
（１）１＋sin＾２θ＝１＋１/２（１－ｃｏｓ２θ）
　　　３ｓｉｎθｃｏｓθ＝３/２ｓｉｎ２θ
　　　よって
　　　１＋１/２（１－ｃｏｓ２θ）＝３/２ｓｉｎ２θ，
　　　３ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝３，
　　　合成公式より，√１０ｓｉｎ（２θ＋α）＝３（
　　　となるので，ｔａｎα＝１/３である．
（２）
1：ｆ（ｘ）＝１/２（１－ｃｏｓ２ｘ）＋２ｓｉｎ２ｘ－３/２（１＋ｃｏｓ２ｘ）＝２（ｓｉｎ２ｘ－ｃｏｓ２ｘ）－１＝２√２ｓｉｎ（２ｘ－π/４）－１
ｆ（ｘ）＝１とすると、
２√２ｓｉｎ（２ｘ－π/４）－１＝１となります。
ｓｉｎ（２ｘ－π/４）＝√２/２
（３）どのような方針でやればいいのかわかりません．
誰か教えていただけませんか．

回答No.3

take_5

＞（１）1+sin^2 θ=3sinθcosθが成り立つとき，tanθの値を求めよ

1＋（1-cos2θ）/2＝（3sin2θ）/2であるから、3sin2θ＋cos2θ＝3.‥‥(1)
tanθ＝tとすると、sin2θ＝（2t）/（t＾2+1）、cos2θ＝（1-t＾2）/（t＾2+1）であるから(1)に代入して、方程式を解くだけ。

＞（２）f(x)=sin^2 x+4sinxcosx-3cos^2 xについて
＞　2：f(x)=1を解け．ただし，0≦x≦πとする　　

sin^2 x+4sinxcosx-3cos^2 x＝sin^2x＋2sin2x-3（1-sin^2 x）＝2sin2x-2cos2x-1＝1より、sin2x-cos2x＝1を解くだけ。

＞（３）不等式｜cosθ｜≦sin|θ｜ （－π≦θ≦π）を解け

-sin|θ｜≦cosθ≦sin|θ｜であるから、θ≧0とθ≦0の2つの場合わけをする。　以下省略。。。。計算は自分でやってね。

回答No.2

arrysthmia

続きを教えるんですね？

(1)
　sin(2θ + α) = 3/√10
　sin α = 1/√10
　cos α = 3/√10
の続き…
　sin(2θ + α) = cos α = sin(π/2 - α)
を解けばよい。
　2θ + α = (π/2 - α) + 2nπ　または
　2θ + α = π - (π/2 - α) + 2nπ　(n は任意の整数)
式を整理して
　θ = π/4 - α + nπ　または
　θ = π/4 + nπ　(n は任意の整数)
これを tan に代入して
　tan θ = tan(π/4 - α)　または　tan(π/4)
ただし
　tan(π/4 - α)
　= { tan(π/4) - tan(α) } / { 1 + tan(π/4)・tan(α) }
　= { 1 - (1/3) } / { 1 + 1・(1/3) }
　= 1/2
方程式 sin x = sin a の解き方は、教科書に載っています。

(2)
　(2√2) sin(2x - π/4) - 1 = 1
の続き…
　sin(2x - π/4) = (1 + 1) / (2√2) = 1/√2 = sin(π/4)
を解けばよい。
　2x - π/4 = (π/4) + 2nπ　または
　2x - π/4 = π - (π/4) + 2nπ　(n は任意の整数)
式を整理して
　x = π/4 + nπ　または　π/2 + nπ　(n は任意の整数)
この内 0≦x≦π の範囲にあるのは
　x = π/4, π/2

(3)
方針…
　-π ≦ θ ＜ -π/2
　-π/2 ≦ θ ＜ 0
　0 ≦ θ ＜ π/2
　π/2 ≦ θ ≦π
に場合分けする。

回答No.1

kumipapa

(1)
1 + sin^2θ = 3 sinθ cosθ
より、cosθ ≠ 0
1 = sin^2θ + cos^2θ より、左辺を変形して
2 sin^2θ + cos^2θ = 3 sinθ cosθ
両辺を cos^2θ （≠0）で割れば tanθ に関する２次方程式を得るから、それを解いて tanθ = 1/2, 1

(2)
sin(2x - π/4)　= √2 / 2
分かりにくければ θ = 2x - π/4 とでもおいて、0 ≦ x ≦ π より -π/4 ≦ θ ≦ 7π/4
この θ の定義域で sinθ = √2/2 を解けば θ = π/4, 3π/4
2x - π/4 = π/4, 3π/4
x = π/4, π/2

(3)
｜cosθ｜≦sin|θ｜
方針：y = |cosθ|, y = sin|θ| のグラフを重ねて書けばすぐ分かる。