高校数学の積分です。答え合わせをお願いします。

質問

wolframa で
　　Int[cos(k(t-x))sin(kx),{x,0,t}]
として確認したのですが、最後の計算まで出ませんでした。

　　∫[0→t]cos(k(t-x))sin(kx)dx
　　= (1/2)∫[0→t]sin( k(t-x)+ kx)dx - (1/2)∫[0→t]sin( k(t-x) - kx)dx
　　= (1/2)∫[0→t]sin(kt)dx - (1/2)∫[0→t]sin(kt-2kx)dx
　　= (t/2)sin(kt) - (1/2)( ∫[0→t]sin(kt)cos(2kx) - cos(kt)sin(2kx) )dx
　　= (t/2)sin(kt) - sin(kt)/2∫[0→t]cos(2kx) dx + cos(kt)/2∫[0→t]sin(2kx) dx
　　= (t/2)sin(kt) - (sin(kt)/2)(sin(2kt)/2k - (cos(kt)/2)((cos(2kt)-1)/2k.

回答No.1

f272 · ベストアンサー

= (1/2)∫[0→t]sin(kt)dx - (1/2)∫[0→t]sin(kt-2kx)dx
まではいいとして，これの第2項は
+(1/2)(1/(-2k))cos(kt-2kx)でx=0→t
になるから
+(1/2)(1/(-2k))cos(kt-2kt)-(1/2)(1/(-2k))cos(kt)
つまり0だよね。

お礼

ああ、そうですね。ご指摘ありがとうございました。

回答No.2

178-tall

被積分関数は、
　cos(k(t-x))sin(kx) = { sin(kt) - sin(k(2x-t)) }/2
　　　　↓　原始関数
　∫cos(k(t-x))sin(kx)dx = (1/2)*∫{ sin(kt) - sin(k(2x-t)) dx
　= (1/2)*[x*sin(kt) + (1/2k)*cos(k(2x-t)) ]

積算すると？
　(1/2)*[x*sin(kt) + (1/2k)*cos(k(2x-t)) ] t↓0
　= (1/2)*[t*sin(kt) + (1/2k)*cos(kt) ] - (1/2)*[ (1/2k)*cos(kt) ]
　= (1/2)*t*sin(kt)
… かな？