積分（↓下の質問は間違えました）

質問

∫ sin(x)cos(x) dx
これを
sin(x)cos(x)=(1/2)sin(2x)
にして積分すると
-(1/4)cos(2x)
になります。しかしxが小さいとして検算すると
符号が合いません。値も変なのです。
行き詰まってパニクってます

回答No.3

Rossana

結論を先に言います。
答えは
－(1/4)cos(2x)＋Ｃ　（Ｃは積分定数）
としても
#2さんの
(1/4){1-cos(2x)}＋Ｃ'　（Ｃ'は積分定数）
でもどちらでも正解です。
ただ，形を合わせるなら#2さんの方法でやるべきです。
　ここで重要なのは
(1/4){1-cos(2x)}＋Ｃ'　
＝－(1/4)cos(2x)＋Ｃ'＋1/4
なので，Ｃ＝Ｃ'＋1/4
とすれば同じになるということです。
つまり，不定積分では積分定数の値は不定なので，
それは何らかの条件によって決定されなければ確定できず任意の値をとれるのです。

お礼

＞それは何らかの条件によって決定されなければ確定できず任意の値をとれるのです＜

しかし#2の方法は条件を賦してないのでは。こういう所が数学わけわかな所なんだよな…

回答No.2

KENZOU

sin(x)＝ｔと置くとcos(x)dx＝dtとなりますね。従って与式の積分は
　∫sin(x)cos(x)dx＝∫tdt＝(1/2)t^2　(1)
となり、変数を元に戻すと
　　　　　　　　　　＝(1/2)sin^2(x)　　(2)
となります。ところで
　cos(2x)＝cos^2(x)－sin^2(x)＝1－2sin^2(x)
ですから
　sin^2(x)＝(1/2)(1－cos(2x))　　(3)
(3)を(2)に代入して
∫sin(x)cos(x)dx＝(1/4)(1-cos(2x)) (4)
となります。

回答No.1

Rossana

∫sin(x)cos(x)dx
＝(1/2)∫sin(2x)dx
＝(1/2)[－(1/2)cos(2x)]＋Ｃ
＝－(1/4)cos(2x)＋Ｃ　（Ｃは積分定数）
となりPandarliedさんの結果と一緒ですが，積分定数の影響は関係ないですか？
何と何をどのように検算されたのでしょうか？

補足

積分結果が
(1/4)(1-cos(2x))
なら結果が合うんですが(ry
特に境界条件とか無いんですけど。。
2xは2πを越すことになるから
領域を分けてどうこうするんでしょうか。
sinの積分とかでπを越さないようにしますよね