Hermite行列とunitary行列について

質問

次の証明が出来ずに困っています。だれか分かる方がいらっしゃったら教えてください、お願いします。
一つ目は、A:Hermite行列の時|A|は実数である事を証明するもので、
二つ目は、A:unitary行列の時|A|の絶対値は1である事を証明するものです。

回答No.1

F0ur1er · ベストアンサー

こんにちわ。
(1) A : Hermite行列 ⇒ |A| : 実数
---証明----------------------------------
まず|A|は固有値の積で書かれるのでこの問題は
固有値がすべて実数ということを示せばよい。
A : Hermite行列 ⇔ (A^*)=A
ここで(A^*)はの随伴行列を表すとします。
いま A の1つの固有値をλとすると、
Ax=λx（x∈Ｃ^n、Ｃは複素数を表す。）
この時、(A^*)x=(λ^-)x（(λ^-)はλの共役な複素数を表す。）
従って、λx=Ax=(A^*)x=(λ^-)x
であるから、λ=(λ^-)．故に、λ∈Ｒ
よって、|A| は実数である。
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(2) A : unitary行列 ⇒ |A| : 絶対値が１
---証明-------------------------------
(1)と同じように考えましょう。
A : unitary行列 ⇔ (A^*)A=E
ただしEは単位行列。
Aの1つの固有値をλとすると、Ax=λx
この両辺に(A^*)を作用させる。
(左辺)=(A^*)(Ax)=Ex=x
(右辺)=(A^*)(λx)=λ(A^*)x=λ(λ^-)x
よって、λ(λ^-)=(|λ|^2)=1
故に、|λ|=1
従って、|A| : 絶対値が１
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こんな感じだと思います。がんばってください。

お礼

非常に分かりやすく、しかもここまで丁寧に教えていただき本当にありがとうございました。
大変よく理解できました。夜遅くにすみませんでした。