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エルミート行列とユニタリー行列の関係
- エルミート行列とユニタリー行列について理解ができません。
- ユニタリー行列をエルミート行列で表現する方法について知りたいです。
- 物理や数学関係の本でエルミート行列とユニタリー行列について詳しく解説してくれる良い本を探しています。
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エルミート行列とかにかんしては線形代数の教養部での教科書があれば、それに「簡単に」書いてありますよ。 以下のHPが全てですので、本を読む必要も無いかと。 さて、exp(iA)がなぜユニタリーになるかというと 転置A^t ,複素共役A^*であらわしますね。 エルミーと行列の特性 (A^t)^*=(A^*)^t=A この特性のみが必要十分な知識です。 U=exp(iA) (U^t)^*=(U^*)^t=(exp(-iA))^t=exp(-iA) これはexpを展開してそれぞれの複素共役を計算して 転置も計算するとエルミート行列の特性から結局は Aは変わらずexpが-になるだけでよいのが確認できます。 これは自分でやるべし。 これを展開してUとかけ算すると exp(iA)=E+iA-1/2A^2 exp(-iA)=E-iA-1/2A^2 exp(iA)exp(-iA)=E+iA-1/2A^2 -iA(E+iA-1/2A^2) -1/2A^2(E+iA-1/2A^2) =E+iA-1/2A^2 -iA+A^2 +i/2A^3 -1/2A^2-i/2A^3+1/4A^4 =E+1/4A^4 展開次数を大きくして詳細に計算すると、 このかけ算がEにちがづいていきます。 ここでは二次までしかやってないけど、n次まで やって、結局はE+1/n!A^nとなることを自分で 確認すべし。n→∞なら、A^nが発散しない限り、 Eに近付く。これらは高校数学の範疇です。 U(U^t)^*=(U^t)^*U=E となります。 よって、Uのエルミート共役行列はUの逆行列になっているので、ユニタリー行列なのですな。 試験がんばれーー！化学が専門でも物理は 先端にいけば必要な知識なので～
