エルミート行列とユニタリー行列

質問

エルミート行列Aを用いて
ユニタリー行列をexp(iA)
のように表現することが出来るそうなのですが
なぜそうなるのかが全く理解出来ません。
どのようにすれば良いのでしょうか？

それとこれは別の質問なのですが
私は化学が専門なので物理や数学関係は詳しくありません。
エルミート行列とユニタリー行列については院試で
絶対に必要となるのでもっと勉強しようと思うのですがなかなか良い本が見つかりません。
解説と問題のある本は何冊か読んだのですが
肝心のその答がないために結局理解出来ずじまいで全く訳に立っていません。
何か良い本があれば教えてください。
本当に困っています。
どうか宜しくお願いします。

回答No.1

toranekosan222 · ベストアンサー

エルミート行列とかにかんしては線形代数の教養部での教科書があれば、それに「簡単に」書いてありますよ。

以下のHPが全てですので、本を読む必要も無いかと。

さて、exp(iA)がなぜユニタリーになるかというと
転置A^t ,複素共役A^*であらわしますね。

エルミーと行列の特性 (A^t)^*=(A^*)^t=A
この特性のみが必要十分な知識です。

U=exp(iA)
(U^t)^*=(U^*)^t=(exp(-iA))^t=exp(-iA)
これはexpを展開してそれぞれの複素共役を計算して
転置も計算するとエルミート行列の特性から結局は
Aは変わらずexpが-になるだけでよいのが確認できます。
これは自分でやるべし。

これを展開してUとかけ算すると　
exp(iA)=E+iA-1/2A^2
exp(-iA)=E-iA-1/2A^2
exp(iA)exp(-iA)=E+iA-1/2A^2
-iA(E+iA-1/2A^2)
-1/2A^2(E+iA-1/2A^2)
=E+iA-1/2A^2
-iA+A^2 +i/2A^3
-1/2A^2-i/2A^3+1/4A^4
=E+1/4A^4
展開次数を大きくして詳細に計算すると、
このかけ算がEにちがづいていきます。
ここでは二次までしかやってないけど、n次まで
やって、結局はE+1/n!A^nとなることを自分で
確認すべし。n→∞なら、A^nが発散しない限り、
Eに近付く。これらは高校数学の範疇です。

U(U^t)^*=(U^t)^*U=E
となります。

よって、Uのエルミート共役行列はUの逆行列になっているので、ユニタリー行列なのですな。

試験がんばれーー！化学が専門でも物理は
先端にいけば必要な知識なので～

参考URL：

http://www.iris.dti.ne.jp/~k-ohkura/physics/matrix.html