答えがわかりません

質問

f(x)=(x^2+ax+3)e^x
が極値をもたないような　a　の範囲を求めなさい。

できれば解き方もお願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

解き方を以下に。

1)極値の問題ですから、少なくとも f '(x)は求めないといけません。
（そこまでは計算されていると思いますが）
f '(x)= (xの2次式)*e^x
の形となります。(xの2次式)を g(x)とします。

2)題意から、f'(x)= 0とならないような aの範囲を求めることとなります。
e^xは、任意の xに対して e^x＞0となります。
つまり、f '(x)= 0となるのは、g(x)= 0となるときです。

3)g(x)= 0とならないような aの範囲を求めるわけですが、
g(x)= 0は 2次方程式の形になっているので、判別式を用いて条件式を与えることができます。
あとは、その条件式（不等式）を解くまでです。

おおまかにはこうなりますが、注意すべき点として
「極値（点）とは、f '(x)の符号が変わる点である」
すなわち、f '(α)= 0 ⇒ x=αで極値をもつ「とは限らない」
ということです。
3)では、このことを考慮して条件式を立てる必要があります。

お礼

ありがとうございます。
参考にさせてもらいます

回答No.3

info22

f'(x)={x^2+(a+2)x+a+3}e^x
極値を持たない為の必要十分条件は
f'(x)≧0、つまり
e^x＞0なので
x^2+(a+2)x+a+3=0
が異なる２実根を持たないことである。
これから、判別式D≦0であれば良いので
D=(a+2)^2-4(a+3)=a^2-8≦0
∴-2√2≦a≦2√2

なぜ以上のようになるかは、上の解答を追って、その意味する所をじっくり考えてみてください。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

743tactac

(d/dx) f(x)={x^2+(a+2)x+a+3} e^x

本問では
極値を持たない ⇔ すべてのxでx^2+(a+2)x+a+3≧0
であるから，g(x)=x^2+(a+2)x+a+3の最小値を求めて
それが0以上である条件を出す．
あるいは，方程式g(x)=0 について判別式D≦0 でもよい．

答えは-2√2 ≦ a ≦ 2√2

お礼

ありがとうございました。
おかげでとけました。