微分の極値について

質問

教えてください。ｘ＝１で極値をもつとき次の式のa,bをもとめよ。
f(x)＝ｘの２乗＋１　　　（ｘ≦１）
f(x)＝－２ｘの２乗＋ａｘ＋ｂ　　　（ｘ＞１）　　　　　　　　　　よくわからないことがたくさんありますので、できたら　丁寧に細かく教えていただけたらありがたいのですが。宜しくお願いします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#2です。
極値の定義はA#2の２）で述べましたが、参考URLにあるようにその点の近傍で最大値をとる時を極大値といいます。またその点の近傍で最小値を取る時を極小値といいます。今の場合f'(1)＝０ではなく、
x≦1でf(x)=x^2+1， f'(x)=2x, f'(1-)=2＞0
x＞1でf(x)=-2x^2+ax+b，f'(x)=-4x+a，f'(1+)=a-4≦0　a≦4 …(2)
x=1での連続条件　2=-2+a+b，a+b=4　…　(1)
極値を持つ条件は
　a≦4, b=4-a …　これが正解だと思います。
　(a,b)=(4,0),(3,1),(2,2),…　など組み合わせは幾らでもありますので
　解答が図で領域として示した方が適当だと思います。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%80%A4

お礼

詳しく丁寧に教えてくださってありがとうございました。（２）の式で
Ｘ＝１で極値をもつからf'(１)=ー４ｘ１＋ａ＝０となると思いますのでａ＝４，ｂ＝０だとおもいます。教えてくださったことがあまり理解できないでいます。申し訳ありません。本当に有り難うございました。

回答No.5

info22

#2,#4です。数学が正しい解答（別解もありうる）、間違った解答、不十分な解答があります。自分が理解できないからといって不十分な解答を選んではいけません。
極値がどういうものか正しく理解すること。
それからグラフを実際に描いて確かめてみてください。
（a,b)=(4,0),(3,1),(2,2)など
つまり
a=4,b=0の場合のグラフ
a=3,b=1の場合のグラフ
a=2,b=2の場合のグラフ
を描いてみてください。
極値がどういうものか少しは理解できると思います。
普段単純は放物線や３次曲線の極値だけでなく、絶対値や今回のような区間で定義されたグラフをつなぎ合わせたグラフの極値についてもう一度考え直して見られた方が良いでしょう。今後同じような問題に遭遇した時、正しい結果を導くのに役立つと思います。f'(a)=0がx=aにおける極値の条件でとはいえません。
今度の問題ではf'(1-)=f(1)=2ですからx≦1ではf'(1)≠0ではないです。
f'(1+)=0はあなたが考える極値の条件の一部しか満たしていません。必要十分な条件ではありません。x=1でf'(x)が不連続の時は、f'(x)が不連続な点では適用できないのです。あなたの先生に確認して見てください。

お礼

回答有り難うございました。私の理解力を越えているところがありまして、なるほどと思ったり、よく分からないと思ったりしています。有り難うございました。

回答No.3

karuteiru

ｘ＝１において０になるので（なぜならｘ＝１で極値を取るから）ということの補完をしますと・・・
関数が極値を持つ時はその関数を微分して値が０になるような場合にしか存在しません
ですからｘ＝１が極値と言われたら
その関数を微分した式にｘ＝１を代入した場合０にならなければならないのです
よってこの問題の場合は上の式は微分した場合ｘ＝０の場合の時、式の値が０になり、これがひとつの極値となります
そして２次関数の式は１つしか極値を持たないのでｘ＝１の時極値を持つ式は下の式だと考えられます
あとは下の式を微分・・・というところは前に書いてある通りです

こんな風でよろしいでしょうか？
またわからなければ聞いてください

お礼

よく分かりました。丁寧に親切に教えてくださって本当にありがとうございました。そうですね。微分して極値は上がって下がる叉は下がって上がる所ですから０になるわけですね。ありがとうございました。優しいあなた様に感謝します。

回答No.2

info22

あなたの解答を分かる所まで、または間違っていても書いて下さい。質問の丸投げは削除対象です。
x=1で極値を持つ事はどういう事かよく考えて見てください。
１）そこで関数が連続であること。
２）そこで近傍より大または小になっていること。
補足解答を示して再度分からない部分を質問してください。

お礼

ありがとうございました。全然わかっていないのです。関数が連続であることはｘ＝１で同じ値になるということですね。どうしていいか分かりません。もう一人の方の解答をみてすこしわかりはじめた気がします。ありがとうございました。

回答No.1

karuteiru

ｘ＝１で極値を持つのならば２つのグラフがｘ＝１において連続でなければならないので
２つの式はｘ＝１において等しい
ｘの２乗＋１の方を(1)　－２ｘの２乗＋ax＋ｂを(2)としておくと
(1)にｘ＝１を代入して
ｆ(x)＝２
(2)にｘ＝１を代入して
ｆ(x)＝－２＋a＋ｂ
この２つの式が等しいので
２＝－２＋a＋ｂ
a＋ｂ＝４

また(2)の式において微分すると
ｆ'(x)＝－４ｘ＋a
この式はｘ＝１において０になるので（なぜならｘ＝１で極値を取るから）
ｘ＝１を代入し
－４＋a＝０
よってa＝４
a＋ｂ＝４なので
ｂ＝０

多分こうだと思いますよ
違っていたらすいません

お礼

有り難うございました。補足の回答もすぐにしていただき有り難うございました。また分からないときは教えてください。宜しくお願い致します。

補足

早くにお教え下さってありがとうございます。やり方はわかりましたが、ｘ＝１において０になるので（なぜならｘ＝１で極値を取るから）
というところが分かりません。本当に私はよくわかっていないのです。すみません。どうしてｘ＝１で０になるのですか。