解法を教えてください

質問

f(x)=e^-ax+alogx(x>0)に対して、次の問いに答えよ。
(1)f'(x)=g(x)/xを満たす関数g(x)を求めよ。
(2)x>0において、(1)で求めた関数g(x)の極値を求めよ。
(3)関数f(x)が極値を持たないようなaの範囲を求めよ。

答えは
(1)g(x)=-axe^-ax+a
(2)x=1/aのときa-(1/e)
(3)a≧1/e

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

No.2です。
失礼しました。
(3)の回答を以下の通り訂正します。答えは質問者さんの答えの通りです。
(3)関数f(x)が極値を持たないようなaの範囲を求めよ。
＞f'(x)=g(x)/xでx＞0だからg(x)＞0であれば無条件で
f(x)は極値を持たないし、g(x)=0の場合はf"(x)=0で
あればf(x)は変曲点となり極値にはならない。
ここでg"(x)=a^2e^(-ax)+(a^2-a^3x)e^(-ax)
=a^2{2-ax)e^(-ax)
g"(1/a)=a^2{2-a(1/a))e^(-a/a)=a^2/e
問題からa≠0と考えられるので、g"(1/a)＞0
従って(2)で求めて極値は極小値でありg(x)≧a-1/e
g(x)＞0が成り立つのはa-1/e＞0、a＞1/e・・・・・(1)
次にa-1/e=0すなわちa=1/eについて確認すると
g(x)=-(1/e)xe^(-x/e)+1/eから
g(e)=-(1/e)ee^(-e/e)+1/e=-e^(-1)+1/e=0、すなわち
f'(e)=0となるが、この場合のf"(x)は
f"(x)=a^2e^(-ax)-a/x^2にa=1/eを代入して
f"(x)=(1/e)^2e^(-x/e)-1/(ex^2)であり、
f"(e)=(1/e)^2e^(-e/e)-1/(ee^2)=(1/e)^2e^(-1)-1/(e^3)=0
となる。
従ってa=1/eのときはf(x)は変曲点をもつが極値は持たないので、
a=1/eもaの範囲に含まれ、(1)と合わせてa≧1/e・・・答

お礼

わかりやすい回答ありがとうございます。助かりました。

回答No.2

yyssaa

(1)f'(x)=g(x)/xを満たす関数g(x)を求めよ。
＞f(x)=e^(-ax)+alogxとして
f'(x)=-ae^(-ax)+a/xだから
-ae^(-ax)+a/x=g(x)/x
g(x)=-axe^(-ax)+a・・・答
(2)x>0において、(1)で求めた関数g(x)の極値を求めよ。
＞g'(x)=-ae^(-ax)+a^2xe^(-ax)=a(-1+ax)e^(-ax)
g'(x)=0の解はx=1/a、よってg(x)はx=1/aで極値をとる。
g(1/a)=-a(1/a)e^(-a/a)+a=-e^(-1)+a=a-1/e・・・答
(3)関数f(x)が極値を持たないようなaの範囲を求めよ。
＞f'(x)=g(x)/xでx＞0だからg(x)＞0であれば常に
f'(x)＞0となりf(x)は極値を持たない。
ここでg"(x)=a^2e^(-ax)+(a^2-a^3x)e^(-ax)
=a^2{2-ax)e^(-ax)
g"(1/a)=a^2{2-a(1/a))e^(-a/a)=a^2/e
問題からa≠0と考えられるので、g"(1/a)＞0
従って(2)で求めて極値は極小値でありg(x)≧a-1/e
g(x)＞0が成り立つのはa-1/e＞0、a＞1/e・・・答
なお、質問者さんの答えはa≧1/eでa=1/eを含んで
いますが、a=1/eではf(x)は極値を持つと思うので、
答えを再確認して下さい。

回答No.1

spring135

f(x)=e^-ax+alogx(x>0)

(1)f'(x)=g(x)/xを満たす関数g(x)を求めよ。

f'(x)=-ae^(-ax)+a/x=g(x)/x

g(x)=a-axe^(-ax)

(2)x>0において、(1)で求めた関数g(x)の極値を求めよ。

g'(x)=-a(e^(-ax)+x(-a)e^(-ax))=-ae^(-ax)(1-ax)

g'(x)=0より

極値を与えるのはx=1/a、x>0なのでa>0の条件下で増減表を書いてy=g(x)のグラフを書くと

x=0:g(x)=a, lim(x→∞)g(x)=a

x=1/a:極小値g(x)=a-1/eを確認すること

(3)関数f(x)が極値を持たないようなaの範囲を求めよ。

f'(x)=g(x)/x=(a-axe^(-ax))/x=a(1/x-e^(-ax))

f(x)=e^-ax+alogx

lim(x→0+)f(x)＝―∞、

lim(x→∞)f(x)~alogx＝∞

従ってf(x)はx>0において―∞から∞まで大局的には増加するが途中で極値をとるとすれば

それは極大値でf'(x)=0のところであり、ここではg(x)=0、すなわちx=1/a

極値をとらないためには常に増加であればよい。すなわちg(1/a)=a-1/e>0

つまりa>1/e

もっと簡単なのはf''(x)を考える。

f''(x)a^2e^(-ax)-a/x^2,

f''(1/a)=a^2/e-a^3<0ならよい。これよりa>1/e