数学の微分での質問です。

質問

ある問題集の例題で
f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6axの極値を求めよという問題で、
aの分け方が
a>1のとき、
a=1のとき、
a<1のとき、
となっていますが、なぜこうなったのか分かりません。

回答No.3

again1212

f'(x)=0 を解くと　x=a,1となります。
aが1より小さかったらaで極大値をとり
aが1より大きかったらaで極小値をとります。

aが1より大きいか小さいかで答えが変わるので場合分けします。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。
「例題」なので解説はあると思うのですが、過程が書かれていませんか？

いきなり、この場合分けが出てくるわけではありません。

(１) 「極値をもつ」ためには、どのようなことが成り立たなければいけませんんか？
　　特に「符号」というところに注意して。

(２) そのことと 2次方程式の解 or 2次関数と x軸の位置関係を組合せて考えます。

まず、(１)から示すべきことを整理して、(２)を考えてみてください。

回答No.1

DJ-Potato

極値を求めるには、極値を与えるxの値を求めます。
f'(x)=0となるxの値ですね。

f'(x)=6x^2 - 6(a+1)x + 6a = 0
x^2 - (a+1)x + a = 0
x = [a+1 ±√{(a+1)^2 - 4a}]/2
= [a + 1 ±√{a^2 +2a + 1 - 4a}]/2
= [a + 1 ±√{a^2 -2a + 1}]/2
= [a + 1 ±√{(a-1)^2}]/2

a = 1　の時、f(x)は単調増加のグラフになるので、極値はなくなるのです。
で、その前後で場合分けをしている、ということです。