数列?の不等式証明でお願いします。

質問

不等式n/2 <1+1/2+1/3+.....+1/(2^n -1) ≦n を証明せよ。
の問題が分かりません。
ご教授お願いします。

回答No.1

noname#182732 · ベストアンサー

帰納法による

n=1の場合明らか

1つのnについて成り立つとする

問題の和をS(n)で表すと
S(n+1)-S(n)=(1/2^n)+...+[1/{2^(n+1)-1}]
でありこれは2^n個の項からなる

ゆえに
S(n+1)-S(n)≧2^n/{2^(n+1)-1}=1/{2-2^(-n)}>1/2
S(n+1)-S(n)≦2^n/2^n=1

帰納法の仮定から
n/2<S(n)≦n
であるから
(n+1)/2=(n/2)+(1/2)
<S(n)+{S(n+1)-S(n)}=S(n+1)

n+1≧S(n)+{S(n+1)-S(n)}=S(n+1)

お礼

遅くなりましたが、上の方のヒントもあり、分かりました。
ありがとうございました。

補足

Sn の一般項の求め方がよく分かりません。
良ければ、補足お願いします。
真ん中のn項の式が分数変化の規則性にあってない気がするのですが。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

まずは具体的に、n＝ 3, 4あたりで示すべき不等式がどうなるか？
特に「真ん中の式」の変化に注目してみてください。
どのような大きさの項が、どれだけ（数）追加されているかがポイントです。

#1さんが書かれている Snの一般項は簡単な式で表すことはできません。
規則性にはきちんと合っています。
自分で具体的に書き下してみればわかると思いますよ。

お礼

ヒントありがとうございました。
不等式の条件を満たす分母の最上の数を、一般項で区切ってるんですね。
ありがとうございました。