確率の問題

質問

１）（1+x）^nの展開式を利用して、次の等式が成り立つことを証明しなさい
nC1+2*nC2+3*nC3+・・・+n*nCn=n*2^(n-1)

（２）（x^2-1/x）^11の展開式におけるx^4の係数を求めなさい。

（３）男子3人、女子４人のグループからくじ引きで3人の役員を選ぶとき、すくなくとも男子1人が含まれる確率を求めなさい。

という問題です
わかりやすく回答教えてください

回答No.2

ferien · ベストアンサー

１）（1+x）^nの展開式を利用して、次の等式が成り立つことを証明しなさい
nC1+2*nC2+3*nC3+・・・+n*nCn=n*2^(n-1)

（２）（x^2-1/x）^11の展開式におけるx^4の係数を求めなさい。

（３）男子3人、女子４人のグループからくじ引きで3人の役員を選ぶとき、すくなくとも男子1人が含まれる確率を求めなさい。

（１）（1+x）^nの展開式は、分かっているとします。展開の式から

nＣ0＋nＣ1＋nＣ2＋……nＣn-1＋nCn＝（１＋１）＾n＝２＾n　……（１）

１は何乗しても１だから、このようになります。

左辺＝nC1+2*nC2+3*nC3+・・・+n*nCn　より

例えば、3*nC3　＝３・n(n-1)(n-2)／３・２・１

３を約分して、n・｛(n-1)(n-2)／２・１｝＝ｎ・n-1Ｃ2　のように書き換えることができます。

他も同様。　だから、

左辺＝n・n-1Ｃ0＋n・n-1Ｃ1＋……＋n・n-1Ｃn-1
　　＝n・（n-1Ｃ0＋n-1Ｃ1＋n-1Ｃ2＋……n-1Ｃn-1）
ここに（１）を使います。

（２）（x^2-1/x）^11の展開式におけるx^4の係数

（x^2-1/x）^11＝（ｘ＾2＋（－ｘ＾-1））＾11　とみます。展開の公式も分かっているとして、

　11Ｃｋ（ｘ＾2）＾11-k・（－ｘ＾-1）＾k＝（－１）＾k・（ｘ＾2）＾（11-k)・（ｘ＾-1）＾k

（ｘ＾2）＾（11-k)・（ｘ＾-1）＾k　の部分をまとめる。

　ｘ＾２(11-k)-k　＝ｘ＾4　とおいてｋを求め、11Ｃｋから係数を求めます。

　※　かなり見ずらいですが、やってみて下さい。

（３）男子3人、女子４人のグループからくじ引きで3人の役員を選ぶとき、すくなくとも男子1人が含まれる確率を求めなさい。

合計７人の中から、３人選ぶ選び方は、7Ｃ3通り

すくなくとも男子1人が含まれるを、男子は含まない→女子しか選ばれない、とする。

女子４人から３人選ぶ選び方は、4Ｃ3通り

そのときの確率　１－4Ｃ3／7Ｃ3　です・

回答No.1

noname#152422

どこがわからないのでしょうか？