Σとノルムの式の不等号の証明

質問

書き方がよくわからないので、変なところがあったらすいません。

ある命題の証明をしていた時に出てきた途中式が、
なぜそうなるのかわかりません。(バナッハ空間での問題です)
よろしくお願いします。

∥Σ(1-x)^k∥≦Σ∥(1-x)^k∥　　(ｋ＝1～∞)

これが、k=1～ｎまでなら、

∥Σ(1-x)^k∥＝∥(1-ｘ)+(1-ｘ)^2+・・・+(1-ｘ)^n∥
　　　　　　≦∥(1-ｘ)∥+∥(1-ｘ)^2∥+・・・+∥(1-ｘ)^n∥
　　　　　　＝Σ∥(1-x)^k∥

となることはわかるのですが、無限大の場合にも
なぜ成り立つのか教えていただきたく思います。
宜しくお願い致します。

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

無限大の場合というのは左辺の級数が収束する場合ということですか？
そうであれば任意のｋに対して不等式が成り立つ事実と（これはすでに分かってるようなのでスルーしますが）級数が収束するという事実（ノルム収束するので左辺は実数の意味で収束します）使えば後は極限をとるだけです。

お礼

そうだったのですか！！
よく考えれば級数が収束するということを使えばよかったんですね。
気がつきませんでした。

ありがとうございます。

回答No.1

ringohatimitu

乗法がすでに定義されてるようですがバナッハ環（代数）での話ですか？

補足

はい、そうです。
言葉足らずですいません。