数学のことで質問があります。

質問

数学の問題で、わからないところがあります。
この問題の解き方を
できるだけ分かりやすく教えてください!!
お願いします(>_<)!

全体集合∪と、その部分集合A.Bについて、
n(∪)＝60、n(Ａ)＝30、n(B)＝25である。
このとき、次の個数のとりうる値の最大値と最小値を求めよ。

(1)、n(A∩B)

(2)、n(A∪B)

(3)、n(A∩B￣)

回答No.3

info22_

(1)、n(A∩B)
最小値=0(∵60-n(A)-n(B))=5)、
最大値=n(B)=25

(2)、n(A∪B)
最小値=n(A)=30,
最大値=n(A)+n(B)=55

(3)、n(A∩B~)
n(B~)=60-25=35より
最小値=n(A)+n(B~)-60=5,
最大値=n(A)=30

回答No.2

MagicianKuma

[蛇足]　全体集合Uの個数の事を忘れてはいけません。

n(A∩B)の最小値を考えるとき（それはn(A∪B)の最大値を考えることと同じ）、単純に共通部分がないn(A∩B)=0と考えてはいけません。共通部分がないということは、n(A∪B)=n(A)+n(B)になるわけですが、これが全体集合の個数を超えてはいけません。
今回の場合は、n(U)=60で、n(A)+n(B)=30+25で60を超えませんから、AとBに重なる部分がない場合もあり得ます。

問題が、n(U)=50,n(A)=30,n(B)=25だったとしたら、n(A)+n(B)=55で全体集合の個数を超えます。なので、共通部分の個数が5以上が必要です。

回答No.1

noname#231526

n(X) が集合Xの要素数であるとしてお答えします。

　部分集合Aと部分集合Bの重なりあい方が問題なわけです。
　両者が全く重なりあわない n(A∩B)＝0 の場合から、両者が完全に交わる（重なりあう） A⊃Bの場合まであります。
　長方形を書き、その中に、部分集合AとBを表す円を一部分重なるように描いて、

　n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)

を確認してください。

（１）A∩Bの個数の最大は、両者が最大限重なった場合ですから、A⊃Bの場合であって、n(B)=25ですから、これより大きくはなりません。すなわち、n(A∩B)の最大値は25 です。

（2）A∪Bの個数が最大になるのは両者が全く重なりあわないとき、すなわち、n(A∩B)=0の時で、30+25=55となります。

(3) A∩B￣とはすなわち、Aから、A∩Bの部分を取り去った残りになります。
　n(A∩B￣)=n(A)-n(A∩B)
　ですから、この時の要素の個数の最大は、n(A∩B)が最少の時で、n(A∩B)の最少は0ですから、n(A∩B￣)の最大値は30となります。