次の数学A(集合)の問題の解答解説をお願いします。

質問

(バーの代わりに～を持ちいます)

全体集合Uとその部分集合A,Bについて,
n(A∩B～)=18,n(A～⋃B)=23,n(A):n(B)=4:5
が成り立つとき次の値を求めよ。

(1)n(A∩B) (2)n(A～∩B～)

回答No.2

jcpmutura · ベストアンサー

A～をAの補集合U-Aとする
B～をBの補集合U-Bとする
n(A∩(B～))をA∩(B～)の濃度とする
n(A∩(B～))=18
n((A～)∪B)=23
n(A):n(B)=4:5
と仮定する

A∩(B～)⊂A
A∩(B～)はAの部分集合だから
18=n(A∩(B～))≦n(A)
Aの濃度はA∩(B～)の濃度18以上となる
18≦n(A)
n(A):n(B)=4:5
だから
n(B)=5{n(A)}/4≧5*18/4=22.5
n(B)≧22.5…(b)

B⊂(A～)∪B
Bは(A～)∪Bの部分集合だから
n(B)≦n((A～)∪B)=23
Bの濃度は(A～)∪Bの濃度23以下となる
n(B)≦23
これと(b)から
22.5≦n(B)≦23
n(A):n(B)=4:5
だから
18≦n(A)=4{n(B)}/5≦4*23/5=18.4

18≦n(A)≦18.4
22.5≦n(B)≦23
n(A)=18の時n(A)=22.5
n(B)=23の時n(A)=18.4
n(A),n(B)が同時に整数とならないから
n(A),n(B)が同時に整数の時
n(A∩(B～))=18
n((A～)∪B)=23
n(A):n(B)=4:5
が成り立つ事はあり得ません

(1)
18≦n(A)≦18.4
0≦n(A∩B)=n(A)-n(A∩(B～))≦18.4-18=0.4
0≦n(A∩B)≦0.4

(2)
22.5≦n(B)≦23
0≦n((A～)∩(B～))=n((A～)∪B)-n(B)≦23-22.5=0.5
0≦n((A～)∩(B～))≦0.5

お礼

よくわかりました。ありがとうございました。

回答No.3

f272

#1です。
n(A～⋃B)=23
を
n(A～∩B)=23
と勘違いしていた。ということで(1)も条件が不足しているので求めることはできません。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

f272

(1)
ベン図を書けば，ピンとくるでしょう。
(2)
条件が不足しているので求めることはできません。

補足

回答ありがとうございます
ベン図からn(U)=41になるのは分かったのですが...