シグマ計算がわかりません

質問

Σ[k=1から∞まで](k+1)2^-k の計算はどのようになるのでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

＃１です。

ΣSn=ΣS(n-1)/2+1　のあとは、

ΣS(n-1)=S0+ΣSn=1+ΣSn
より、
ΣSn=(1+ΣSn)/2+1
ΣSnについて解けば、
ΣSn=3
となります。

この解法を、分かりやすく書くと、
x=2/2+3/4+4/8+5/16+・・・・・
とすると、
x=1/2+1/4+1/8+1/16+・・・・・
　+1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+・・・・・
　=1/2+1/4+1/8+1/16+・・・・・
　+(1+2/2+3/4+4/8+5/16+・・・・・)/2
より、
x=1+(1+x)/2
が成り立ちます。

お礼

丁寧に回答して頂きありがとうございました。
理解できました。

回答No.2

info22

f(x)={1-x^(n+2)}/(1-x)
=1+x+x^2+ ... +x^(n+1)
f'(x)=(n*x^(n+2)+x^(n+2)-n*x^(n+1)-2*x^(n+1)+1)/(x-1)^2
=1+2x+ ... +(n+1)x^n
f'(1/2)=4{-n*2^(-n-1)-2*2^(-n-1)+n*2^(-n-2)+2^(-n-2)+1}
=1+2*2^(-1)+3*2^(-2)+ ... +(n+1)*2^(-n)
なので
Σ[k=1,∞](k+1)2^(-k)=lim[n→∞]Σ[k=1,n](k+1)2^(-k)
=lim[n→∞]{f'(1/2)-1}
=lim[n→∞]4{-n*2^(-n-1)-2*2^(-n-1)+n*2^(-n-2)+2^(-n-2)+1}-1
=3

途中計算は自分でフォローしてやってみて下さい。

お礼

ありがとうございます。
大変勉強になります。

回答No.1

nag0720

Sn=(n+1)2^(-n)=(n+1)/2^n
とおくと、
Sn=n/2^n+1/2^n=((n-1)+1)/2^(n-1)/2+1/2^n=S(n-1)/2+1/2^n

n:1→∞のとき、
Σ(1/2^n)=1
より、
ΣSn=ΣS(n-1)/2+1
あとは分かりますよね。

補足

その後の計算がどうしてもわかりません・・・
お手数ですがご教示下さい。