Σ計算

質問

ある問題をやっていたら、
自分の解き方では
Σ（１/４ｋ＋１）
や
Σ（１/４ｋー１）
の計算をしなければならなくなりました。

そこで、高校時代の教科書・参考書等を引っ張り出してきて、解法を探したのですが、わかりませんでした。

この計算は可能なのでしょうか？
どなたか教えてくださいm(_ _)m

回答No.4

zetafunction · ベストアンサー

これは『ライプニッツの級数』を求めようとしているのですね？

ライプニッツの級数：Σ[n=1 to ∞]_{(-1)^(n+1)}/(2n-1) = π/4

【定理】
交代級数 Σ[k=1 to ∞]_{(-1)^(k+1)}(α_k) (α_k ＞ 0) において, {α_n} が単調に減少し 0 に収束するならば, この級数は和を持つ。

ですから, この計算は可能か？
という問の答えは可能です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞ライプニッツの級数
そう言うのですか、たしかに、その等式について考えてます。
具体的に、to１０００００などの値について求めることは可能でしょうか？

回答No.5

zetafunction

Σ[n=1 to 10000]_{(-1)^(n+1)}/(2n-1) ≒0.7853731633975108

回答No.3

mulukhiyya

あっ！1/(4k＋1)だったんですか？！（馬鹿な回答をしてしまった。。）

お礼

あ、すいません。
私の表記ミスです。

回答No.2

mulukhiyya

(kを動かす範囲が省略されていますね？1～nでしょうか？)

ポイントは、Σの「線形性」(＝和について分配でき、定数倍を外に出せること)によって、

　Σ(1/4 k＋1)　＝　1/4Σk＋Σ1

と変形し、Σの中を簡単にすることです。
あとは Σk、Σ1 それぞれの公式を適用して、おしまい。

参考URL：

http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/sigma.htm

回答No.1

springside

Σ{1/(4k+1)}=1/5+1/9+1/13+・・・や、
Σ{1/(4k-1)}=1/3+1/7+1/11+・・・
をそれぞれ単独で求める（k=1～nとして、nの式で表す）のは無理だと思いますが。

元の問題はどのようなものなのでしょうか。

お礼

ご回答ありがとうございます。

問題としては、円周率の近似値を求める問題なのですが、
僕のやり方では途中で、
Σ{1/(4k+1)}ーΣ{1/(4k-1)}
となるのです。

単独で無理ならば、これではいかがでしょうか？