このシグマの無限までの計算を教えて下さい。

質問

計算法が分からず困っています。
Σ1/{(4k+1)(4k+3)}、k=0から∞まで
の問題です。
計算法が分からず困っています。

1/{(4k+1)(4k+3)}={1/(4k+1)-1/(4k+3)}/2
と分解するのかと思いましたが上手くできませんでした。
本などでも調べたのですが、分かりませんでした。
積分を使うのでしょうか？
お願いします。
あと、もしこれに似た問題があるサイトがあれば教えて下さい。

回答No.2

bran111

S=Σ(k=0,∞)[1/{(4k+1)(4k+3)}]=(1/2)Σ(k=0,∞)[1/(4k+1)-1/(4k+3)]

この変形は適切です。級数の和

2S=Σ(k=0,∞)[1/(4k+1)-1/(4k+3)]

は初めのほうを計算してみると

1-1/3+1/5-1/7+-......

となり、奇数の逆数の交項級数になっています。つまり

2S=Σ(k=0,∞)[1/(4k+1)-1/(4k+3)]＝Σ(k=0,∞)[(-1)^k/(2k+1)]

これは有名なライプニツの公式と呼ばれるものでπ/4に収束します。その証明方法の幾つかが下記のWikipediaに記述されています。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%97%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%84%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

2S=Σ(k=0,∞)[1/(4k+1)-1/(4k+3)]＝Σ(k=0,∞)[(-1)^k/(2k+1)]＝π/4

ゆえに

S=π/8

余談ですがライプニツの公式によってπを計算することは収束が遅いため敬遠されています。PCに組み込んで手軽に迅速にπを計算するには、リーマンのζ関数がおすすめです。

　　ζ(k)=Σ(n=1,∞)[1/n^k]

ζ(2)=π^2/6, ζ(4)=π^4/90, ζ(6)=π^6/945,....

等が知られており、例えばζ(4)を使って100項目まで計算すると3.141592まで正確に出ます。

回答No.1

info222_

I=Σ[k=0, ∞] 1/{(4k+1)(4k+3) }
=Σ[k=0, ∞] (1/2) {1/(4k+1) - 1/(4k+3) }
=(1/2) Σ[k=0, ∞] {1/(4k+1) - 1/(4k+3) }
=(1/2) {1/1 - 1/3 +1/5 -1/7 + ...
tan^-1(x)のマクローリン展開の公式で x→1の極限をとることにより
=(1/2) tan^-1(1)
=(1/2)(π/4)
=π/8 ... (答)