線形代数の問題が分かりません

質問

線形代数の問題が分かりません

｛1，2，・・・，n｝の置換全体の集合をSｎと表すことにする．

（１）S3の元σで次が成り立つものをすべて求めよ．
　　すべてのγ∈S3に対してγσ＝σγ

（２）Sn（n≧3）の元σで次が成り立つものをすべて求めよ．
　　すべてのγ∈Snに対してγσ＝σγ

この二つの問題が分かりません．どなたか分かる方がいらっしゃいましたら教えてください．
よろしくお願いします．

回答No.6

tmpname

ANo.5さん

なるほど、それで意味がとれました。

回答No.5

alice_44

←A No.3
「 1, 2 を固定」でなく
「｛ 1, 2 ｝ を固定」と書けば、お気に召したろうか？
固定されるのは、｛ 1, 2 ｝ を含む他の部分集合でもよいので、
それはそれで誤解のもとになった気もするが…

回答No.4

muturajcp

σ=1(恒等置換)に対して
全てのγ∈Snに対してγ1=1γが成り立つ

σを
Sn(n≧3)の元σ≠1で全てのγ∈Snに対してγσ=σγが成り立つと仮定すると
σ≠1だから
σ(j)≠j,1≦j≦nとなるjがある
n≧3だから
j≠k≠σ(j),1≦k≦n,となるkがある
γ=(j,k)とするとσは全単射だから
γσ(j)=(j,k){σ(j)}=σ(j)≠σ(k)=σ{(j,k)(j)}=σγ(j)
γσ≠σγとなってγσ=σγに矛盾する
∴
Sn(n≧3)の元σで全てのγ∈Snに対してγσ=σγが成り立つものは
σ=1(恒等置換)
だけである

回答No.3

tmpname

ANo.2さん

> γ = 互換(1,2) のときにも γσ＝σγ でなければならない
> ことから、1, 2 が σ で固定されることを示し

この場合は別に σ= (1,2)(1,2を動かさない置換)であれば σによって1,2は固定されませんが、γσ＝σγであって別に問題ないのではないでしょうか。 この場合、もう一個 γ = [1,2,3の巡回置換]を考えれば矛盾が生じますが、こうなるとやっている事はANo.1と結局ほとん ど変わらないと思います。

回答No.2

alice_44

(1) は、(2) で n=3 の場合ですね。
(2) でいきましょう。

勉強して、適当な資料に出会わなかったのは、
これを線形代数の問題と思ってしまったからでしょう。
群論の入門書には、よく載っている話です。

群 G の元で、G の任意の元と可換なものを集めた集合を、
G の「中心」といい、G の部分群になります。
(2) は、３次以上の対称群 Sn の中心は自明群 { e }
であることを言っています。

最も初等的に証明するには、
γ = 互換(1,2) のときにも γσ＝σγ でなければならない
ことから、1, 2 が σ で固定されることを示し。
同様に、γ = 任意の互換 から 1,2,3,…,n が全て固定
されることを言えば良いでしょう。

回答No.1

tmpname

(1)(2)

いずれの場合もσは恒等置換しかない。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E3%81%AE%E4%B8%AD%E5%BF%83

証明は、σ≠idなら、γσ≠σγなるγ∈Snが必ずある事を示せば良い。
今{1,2, ... , n} = Xと書くと、σ≠idならあるa∈Xがあって、aはσによってaではないbに動く。
ここでbがσによってaに戻る場合と、そうではなくaでもbでもないcに動く場合とで場合分けをする。
それぞれの場合でγσ≠σγなるγ∈Snを具体的に見つける。