偶置換、奇置換

質問

群について勉強していて、わからないことがあります。

ｎを自然数として、X_n＝｛１，２，…，ｎ｝、
S_n＝｛σ：X_n→X_n｜σは全単射｝
とおく。
A_nを偶置換全体からなるS_nの部分群とする。ρ∊S_nは奇置換であるとし、
ρA_n={ρσ∊S_n｜σ∊S_n｝
とおく。

この時、「φ（σ）＝ρσ（σ∊A_n)で定まる写像φ：A_n→ρA_nが全単射である。」
とあるのですが、ここの部分がよくわかりません。
単射であることは以下のように証明してみました。
「σ、σ’∊A_nとして、ρσ＝ρσ’ならば、両辺にρ^(-1)を左から作用させるとσ＝σ’」
全射についてうまく証明することができません。
どのようにすればよいのか教えていただけると助かります。

回答No.4

Tacosan

それは「τ についていえること」の 1つだね.

他にはありませんか? 考えられる限りすべて挙げてください.

回答No.3

Tacosan

ρA_n={ρσ∊S_n｜σ∊A_n｝
なら, 実は「定義より自明」だったりする.

τ ∈ ρA_n のとき, ρA_n の定義から τ について何がいえる?

補足

τは奇置換でるとかですかね？

回答No.2

stomachman

> S_n＝｛σ：X_n→X_n｜σは全単射｝

　　S_n＝｛σ | σ：X_n→X_n ∧ σは全単射｝
という意味だろうね。

> ρA_n={ρσ∊S_n｜σ∊S_n｝

　　ρA_n={λ | ∃σ(σ∊S_n ∧ λ = ρσ ∧ λ∊S_n)｝
という意味だろうな。キチンと書く習慣を付けた方が良いと思うよ。

　で、
　　ξ=ρ^(-1)
とおくと、
　　ξ∈S_n
　　(ρξ)∈S_n
だから、ρA_nの定義に従って
　　(ρξ)∈ρA_n
である。もちろん(ρξ)は恒等置換に他ならず、これは偶置換です。
　さて、任意のσについて、σ∈A_nならφ(σ)は必ず奇置換である。だからφ(σ)が偶置換(ρξ)になるσはA_nの中にはない。すなわち、A_nを定義域、ρA_nを値域とするφは全射ではない。

　ご質問の意図に反してφが全射になってくれない理由は、ANo.1の通り。

補足

ρA_n={ρσ∊S_n｜σ∊S_n｝
の部分を書き間違えていました。
ρA_n={ρσ∊S_n｜σ∊A_n｝
です。大変申し訳ありません。
このとき、φが全射になる理由を教えてください。

また、集合の書き方についてですが、自分の勉強している本にはこのように書いてあります。
どのように書けばよいのかも教えていただけると幸いです。

回答No.1

Tacosan

とりあえず
ρA_n={ρσ∊S_n｜σ∊S_n｝
は変だと指摘しておこう.