ハミルトニアンの形

質問

md^2/dt^2φ=-αφ
L(φ,φ')=Σ(mφ'^2-αφ^2/2)...φ'の'は微分の記号
一般化座標φに対する一般化運動量
ψ=Σζp
のとき
ハミルトニアンは
H(φ,ψ)=Σψφ'-L(φ,φ')=Σ(ψ^2/(2m)+αφ^2/2)
=Σ(ψ^2+m^2(ω(k))^2φ^2)
となるようなのですが、最後の式においてなぜΣ(ψ^2/(2m)+αφ^2/2)
の形になるのか、またなぜm^2(ω(k)が出てくるのか分からず困っています

回答No.1

sono0315 · ベストアンサー

波動関数φを平面波で時間依存がある形
φ＝Ae^i(kr-ωt)
で表したとしましょう。

時間での２階微分
φ"＝-ω^2φ
となります。

これを一番上の式に入れると
md^2/dt^2φ=-αφ
-mω^2φ＝=-αφ
α＝mω^2

Σ(ψ^2/(2m)+αφ^2/2)
これにαを代入する前に、たぶん間違っている点だと思いますが
この式から(1/2m)をΣの外に出して
Σ(ψ^2/(2m)+αφ^2/2)＝(1/2m)Σ(ψ^2+mαφ^2)
としておきます。

α代入です
(1/2m)Σ(ψ^2+mαφ^2)
＝(1/2m)Σ(ψ^2+m^2ω^2φ^2)

ということで最後の式が出てきました。当然ですが、ωは
波数kに依存しますのでω＝ω(k)の表記にしてもいいわけですね

回答No.2

sono0315

＃１補足
私は物理(量子系)専攻だったので、この質問に関してですが、
「数学」の方へ投稿するより「物理学」の方がいいような気がします

お礼

回答ありがとうございました