ハミルトニアンとラグラジアン

質問

ハミルトニアンとラグラジアンは、共に間接法で系のエネルギを一般化座標について偏微分して、運動方程式を導出する為の別の方法という理解でよろしいでしょうか？

変分法によるラグランジュ方程式に関してはある程度知識あるつもりですが、ハミルトニアンの文献を読むとそう思えます。間違っていたらご指摘頂き、その利点を教えて頂ければ幸いです。

回答No.1

nzw · ベストアンサー

ハミルトン形式およびラグランジュ形式が含まれる解析力学には２つの
意義があります。
１）古典力学の座標系の一般化
２）古典力学から量子力学、場の量子論に物理学を構築した際の重要なつなぎ

　近代物理学はニュートンの運動方程式から始まりました。これは質量を
持ち、大きさを持たない”質点”に対する理論です。ニュートンの運動
方程式は、aとFをベクトルとして、
m*a = F
というベクトルの式になっています。

実際の計算には”座標系”を持ち込んでスカラー化してやる必要があり
ます。
この時、座標系としてデカルト座標を利用した時には、
m*a_x = F_x, m*a_y = F_y, m*a_z = F_z
という各成分に対して対称で、変数分離された式になります。所が、
曲座標のような非デカルト座標を用いると、一般に変数分離できて
いない式になってしまいます。

　ラグランジュ形式は、運動方程式を、非デカルト座標系で、
変数分離されていて各成分で同じ形の式にするための方法です。
ただし、任意の座標系が許されるわけではなく、座標変換に
微分等の時間依存項が含まれないという制限があります。

　ハミルトン形式は、より一般的な座標変換で形が変わらない
ように運動方程式を構成するための方法です。

　ラグランジュ形式も、ハミルトン形式も、古典論の範囲では、
ニュートン力学で説明できない何かを付け足した訳ではありません。

　物理学上、解析力学が重要なのは２の理由からです。

　ニュートン力学が、電子という本当の質点に対して破綻していることが
発見されました。この問題の克服のために、量子力学が構築されたのは
ご存知かと思います。電子等の質点に対する量子力学は、ハミルトン形式
の上に体系づけられました。これが、量子力学が力学なのに、”力”が
でてこなかったり、”ハミルトニアン”が出てくる理由です。

　一方、ラグランジュ形式は、量子力学を、質量を持たない光子も記述
できるように拡張する上で重要な役割を果たしました。

　量子力学と場の量子論を学習すれば、解析力学の位置づけ
がよく理解できます。しかし、こういった事情を知らなければ、
ポアソン括弧やら、正準変換やら、無味乾燥な記号遊びに見えても
しかたないですね。

　このあたりは、
高橋康著『量子力学を学ぶための解析力学入門』講談社サイエンティ
フィクの（かなり冗長な、でも面白い）助言に詳しく書かれています。
是非ご一読を。

お礼

情報ありがとうございました。

私は物理屋ではなく技術屋なので、量子力学も概要しか知りません。今回のご意見で、ハミルトニアンが量子現象を記述するのに都合のよい手法として使われていると知りました。私は力学の勉強の過程で変分法よりオイラー・ラグランジュ方程式が導かれ、それから運動方程式が導かれる事を主に学びましたが、ハミルトニアンに関しては触れる機会がありませんでした。技術屋にはあまり縁のない世界なのかもしれませんが、記載頂いた参考書を一読してみたいと思います。