力学です。

質問

運動方程式dP/dt=Fから角運動量の方程式dL/dt=N（Lは角運動量r×P、Nは力のモーメントr×F)を導くのはどうしたらいいのですか？また中心力f(r)のもとでの運動方程式を極座標で表すと(<<r>>-ｒ<θ>^2)cosθ-(<r><θ>+<<r>><θ>+ｒ<<θ>>)sinθ=f(r)/mでいいのですか？<>は時間微分を一回、<<>>は時間微分を二回したという意味です。物理が得意ではないので詳しい解説をお願いします。

回答No.1

noname#21219 · ベストアンサー

運動方程式dP/dt=Fの両辺に、左からr×を演算すると
r×dP/dt=r×F⇒d/dt(r×P)-(dr/dt)×P=r×F
上の式の第二項は、運動量と速度の外積ですけど
二つのベクトルは平行だから0です。

(<<r>>-ｒ<θ>^2)cosθ-(<r><θ>+<<r>><θ>+ｒ<<θ>>)sinθ=f(r)/mというのを整理させてもらうと
(r"-rθ'^2)cosθ-(r'θ'＋r"θ'＋rθ")sinθ=f(r)/m
です。
これは、まず運動方程式mr→"=f(r→)e1とします。
r→はベクトルであり、e1はr方向の単位ベクトルです。rはスカラーです。
r→=re1です。また、e2をθ方向の単位ベクトルとすると、e1=cosθi＋sinθj,e2=-sinθi＋cosθjが成り立ちます。ただし、i,jはそれぞれx,y方向の単位ベクトルです。
運動方程式mr→"=f(r→)e1に、r→=re1を代入します。
m(r'e1＋re1')'=fe1⇒m(r"e1＋2r'e1'＋re1")=fe1
となります。一方、e1'=(cosθi＋sinθj)'=θ'e2
e1"=θ"e2＋θ'e2'=θ"e2-θ'^2e1です。これらを代入すると、m(r"e1＋2r'e1'＋re1")=m{r"e1＋2r'θ'e2＋
r(θ"e2-θ'^2e1)}=fe1です。
この両辺を、e1の係数が等しいと置けばいいです。
m{r"-rθ'^2}=f
また、右辺のe2の係数は0だから
m{2r'θ'＋rθ"}=0⇒m(1/r)d/dt(r^2θ')=0

お礼

詳しい説明をありがとうございます。でも回答がこれだけでない可能性があるのでまだ締め切らないことにします。

補足

さまざまな資料を見て、別解がわかったので締め切ることにします。わかりやすい説明ありがとうございました。