指数関数の線形結合が0を通過する条件について

質問

a1,a2,a3を相異なる正の実数，b1,b2,b3を相異なる実数とします。
これらを用いて，実数xの連続関数：
f(x) = a1*a2*(b1-b2)*exp[(b1+b2)*x]
+ a2*a3*(b2-b3)*exp[(b2+b3)*x]
+ a3*a1*(b3-b1)*exp[(b3+b1)*x]
を定義します。

いま，xを-∞から∞まで連続的に動かすとき，f(x)が0を1度も通過しない（y = f(x)のグラフがx軸と交差しない）ようなa1,a2,a3,b1,b2,b3の組合せは存在するでしょうか？

もし存在する場合，そのようなa1,a2,a3,b1,b2,b3の組合せは，どのような条件を満たすでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.1

info22

(a1,a2,a3)=(1,2,3)とおくと
f(x)=2(b1-b2)exp((b1+b2)t)+6(b2-b3)exp((b2+b3)t)+3(b3-b1)exp((b3+b1)t)

b2=0として
f(x)=2b1*exp(b1*t)-6b3*exp(b3*t)+3(b3-b1)exp((b3+b1)t)

b1*b3<0,b1+b3<0.41で f(x)>0 になる。

例、(a1=1,a2=2,a3=3,b1=1,b2=0,b3=-1),
(a1=1,a2=2,a3=3,b1=1,b2=0,b3=-2)

質問者の問題に文字定数が多すぎるため、一般的な条件を求めるのは相当困難が伴うか、現実的に一般化は無理かも。

上のやり方のように、ある程度文字定数を固定して、他の変数についての条件を出すことを繰り返して、それらの各場合の条件をまとめて、地道に一般化していくしか、ないように思われる。

やり方の先鞭をつけましたので同様なやり方で、後は質問者さんの方で地道に、根気よく、おやり下さい。

お礼

貴重なご回答，ありがとうございます。
「f(x)が0を1度も通過しない」場合は，確かにあるということがわかりました。
条件の一般化についても，直接は難しいということをご教示いただきました。以上の2点が，私の実務上の最も重要な課題でした。
一般化するには，動かす文字定数を限って始めるしかないのですね！