有限な関数uが存在するための条件

質問

(1-x^2)(d^2/dx^2)u - 2*x*(d/dx)u + A*u =0

-1 ≦ x ≦ +1

この式を満足する有限な関数uが存在するためには

A = y(y + 1)

ここでyはゼロ又は正の整数でなければならないそうなのですが、なぜだか分かりますか？

教科書を見るとy" + ay' + by = 0
の解は
s^2 + a*s + b = 0
の式において
二重解αならy = exp(αx)*(A*x+B)
異なる実数解α、βならy = A*exp(αx) + B*exp(βx)
共役な虚数解ならλ±iμならy = exp(λx) * (A*sin(μ*x) + B*cos(μ*x)
であるということは書かれていますが、
これらは全て有限な関数であると思うのですが
どすればA = y(y + 1) という条件を導き出すことが出来るのでしょうか？
どうかよろしくお願い致します。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

＞ここでyはゼロ又は正の整数でなければならないそうなのですが、

細かい事ですが、yが非負の整数『でなければいけない』、という事はありません。負の整数でもかまいません。(といっても、y=-nの時と、y=n-1の時にAの値が同じになるから、というだけのことです)

A=ν(ν+1)とした場合(このようなνは複素数の範囲で必ず存在する)の、微分方程式の解は、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
のようになります。(-ν/2)_n (nは添え字)のような記号がありますが、複素数aと自然数nに対して、
(a)_0 = 1
(a)_n = a (a+1) (a+2) ・・・ (a+n-1)　(n個の積)
と定義されています。

νが非負の偶数の場合には、y_eが-1≦x≦1で発散しません。
なぜなら、(-ν/2)_nが、途中からゼロになるからです。(従って,y_eは有限の多項式になる)

νが正の奇数の場合には、y_oが-1≦x≦1で発散しません。
なぜなら、((1-ν)/2)_nが、途中からゼロになるからです。(y_oは有限の多項式になる)

νが整数でない場合には、y_eもy_oもx=±1で発散してしまいます。
この理由が説明しづらいのですが、イメージとしては、

nが十分大きいと、(a)_nとn!はだいたい等しい(定数倍の差は除く)ので、y_eのx^(2n)の係数は、n→∞で、ゼロでない定数に収束します。そうすると、定数倍の差を除いて、y_eはΣx^(2n)に等しいことになりますが、Σx^(2n)=1/(1-x^2)からy_eはx=±1で発散している事になります。(y_oも同様に発散します)