指数関数の問題です。教えて下さい！

質問

2つの関数f（x）=３の２x乗、g（x）=３k-x乗（kは正の定数）がある。
またy=g（x）のグラフとy軸との交点をAとする。
y=f（x）とy=g（x）のグラフの交点をP、点Aを通りx軸に平行な直線とy=f（x）
のグラフとの交点をQ、点Qを通りy軸に平行な直線とy=g（x）のグラフとの
交点をRとする。このときP,Q,Rの座標をそれぞれkを用いて表せ。
また、三点P,Q,Rに対して三角形OPAと三角形PQRの面積の比が３：１
となるようなkの値を求めよ。ただし、Oは座標の原点とする。

解き方がさっぱり分かりません。
詳しい解説をできたらよろしくお願いします！

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞2つの関数f（x）=３の２x乗、g（x）=３k-x乗（kは正の定数）がある。
f(x)＝3^2x，　g(x)＝3^(k-x)　k＞0

＞ またy=g（x）のグラフとy軸との交点をAとする。
x＝0とおくと、y＝3^k　より、A(0,3^k)

＞ y=f（x）とy=g（x）のグラフの交点をP、
3^2x＝3^(k-x)より、2x＝k-xだから、よって、x＝k/3，y=3^(2k/3)　……P

＞点Aを通りx軸に平行な直線とy=f（x）のグラフとの交点をQ、
点Aを通りx軸に平行な直線は、ｙ＝3^k　だから、
3^k＝3^2xより、2x＝kだから、よって、x＝k/2，ｙ＝3^k　……Q

＞点Qを通りy軸に平行な直線とy=g（x）のグラフとの交点をRとする。
点Qを通りy軸に平行な直線は、x＝k/2　だから、
y＝3^{k-(k/2)}＝3^(k/2)より、よって、x＝k/2，y＝3^(k/2)　……R

＞このときP,Q,Rの座標をそれぞれkを用いて表せ。
上の通りです。

＞ また、三点P,Q,Rに対して三角形OPAと三角形PQRの面積の比が３：１
＞ となるようなkの値を求めよ。ただし、Oは座標の原点とする。

△OPAで、底辺＝OA＝3^k，高さ＝Pのx座標＝k/3　だから、
△OPAの面積＝(1/2)・3^k・(k/3)＝(1/6)k・3^k

△PQRで、底辺＝QR＝3^k－3^(k/2)，
高さ＝Qのx座標－Pのx座標＝(k/2)－(k/3)＝k/6　だから、
△PQRの面積＝(1/2)・{3^k－3^(k/2)}・(k/6)＝(1/12)k{3^k－3^(k/2)}

△OPA：△PQR＝3：1より、
(1/6)k・3^k：(1/12)k{3^k－3^(k/2)}＝3：1
3・(1/12)k{3^k－3^(k/2)}＝(1/6)k・3^k
(1/12)k{3^k－3・3^(k/2)}＝0
k＞0より、3^k－3・3^(k/2)＝0
3^k＝3^{1＋(k/2)}より、k＝1＋(k/2)
k/2＝1より、よって、k＝2

後半はグラフをかいてみれば、三角形の形がすぐわかります。
（できれば、グラフを描いてみてください。）

お礼

分かりやすい回答ありがとうございます。
もう一度、これを参考にして解き直してみます。
ありがとうございました！

回答No.1

ereserve67

f(x)=3^{2x},g(x)=3^{k-x}

A=(0,g(0))=(0,3^k)

Q=(x,3^{2x})とおくと3^{2x}=3^k,2x=k,x=k/2

∴Q=(k/2,3^k)

∴R=(k/2,g(k/2))=(k/2,3^{k/2})

y=f(x)=g(x)とすると3^{2x}=3^{k-x},3^{3x}=3^k,3x=k,x=k/3

∴P=(k/3,f(k/3))=(k/3,3^{2k/3})

△OPA=(1/2)OA(k/3)=k3^k/6

△PQR=(1/2)QR(k/2-k/3)=(1/2)(3^k-3^{k/2})k/6

∴△OPA：△PQR=k3^k/6：(1/2)(3^k-3^{k/2})k/6

=3^k：(1/2)(3^k-3^{k/2})=2・3^{k/2}：(3^{k/2}-1)=3：1

3・3^{k/2}-3=2・3^{k/2},3^{k/2}=3

∴k=2

お礼

回答してくださって有難うございます！
参考になりました。