微分方程式の初期値問題

質問

ｙ′＋ay=b , y(0)=y0の解の公式を導きなさい
上記の問題の解き方を教えてください。
ちなみにラプラス変換を使わない方法でお願いします。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#2,#4です。
A#2は直接微分方程式を解く方法ですが、

>ラプラス変換を使わない方法
として演算子法を使う方法では以下のようになります。

d/dx=Dとおいて
(D+a)y=b
y=b/(D+a)=e^(-ax)(∫[0->x] b e^(at)dt+y0)
=y0 e^(-ax) + b e^(-ax)∫[0->x] e^(at)dt
=y0 e^(-ax) + b e^(-ax) [(1/a)e^(at)](t=0->x)
=y0 e^(-ax) + (b/a) e^(-ax){e^(ax)-1}
= ...
↑後は式を整理するだけですので、やってみてください。

回答No.4

info22

#2です。
>y=(b/ａ)(1-e^(-ax))+y0
>
>以上のような解答になったのですが合っていますでしょうか？
間違っています。
求めたyを方程式に代入すると成立しません。

A#2に書いた手順でやれば正しい結果が得られるはずです。

途中計算を補足に書いてもらえばどこで間違いをしたかチェックします。

回答No.3

carvelo

bは定数ですかね？

であれば、たとえば
f(y)=-y+b/a
g(x)=a
とおくと
y'=g(x)f(y)
ですね。この形の微分方程式の解法は、微分方程式の教科書の初めの方に載っているはずです。

参考に
ご質問の微分方程式は、一様重力場中で速度に比例する抵抗を受けながら運動する質点の運動方程式などと同じ形をしています（速度vをyと置いてみる）。なので、力学の教科書などを見てもいいかもしれません。

補足

y=(b/ａ)(1-e^(-ax))+y0

以上のような解答になったのですが合っていますでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

info22

あなたのできるところまでの解答を補足に書いて下さい。そして行き詰っている所について質問して下さい。

解き方
同次微分方程式
y'+ay=0
の一般解
y=
と特殊解
y=b/a
の和を求めて一般解とします。
それに初期値を適用して、一般解の定数を決めるだけです。

補足のあなたのやった解答をお書き下さい。

回答No.1

Tacosan

あなたはこの問題を「解の公式」や「ラプラス変換」を使わないで解けますか?