微分方程式の問題

質問

(dy/dx)+(y/x)=x^2*y^3

上記の微分方程式の解き方がわかる方がいらっしゃいましたら、教えていただけませんでしょうか。ラプラス変換とかいろいろ考えたのですが、どうやって着手すればいいのか全くわからず、困っています。ご教授のほど、よろしくお願いします！

回答No.4

otonashi-riko

これは　ベルヌーイの微分方程式です。
解き方は、微分方程式の教科書または参考書に載っています。
ただし、数学の得意でない人には、解き方を理解するには、少し難しいので近くに数学の先生か゛
いたら　直接教えてもらった方が良いでしょう。
ちなみに、この問題の解は
　y^2 = 1/(-2x^3+Cx^2)
です。

回答No.3

ask-it-aurora

初見で解くのは難しいと思います．

問題の方程式は「ベルヌーイの微分方程式」と呼ばれる非線形なのにも関わらず，うまい変数変換によって解が解析的に求まる珍しい型の一種です．その証明に沿って解けば，以下のようになります．

まず z = y^(-2) と変数変換すると
z' = -2y^(-3)y'
なので，もとの方程式は
z' - (2/x)z = -2x^2
となります．積分因子を計算すると
exp(∫dx(-2/x)) = x^(-2)
です．そこで w = x^(-2)z と変数変換すると
w' = x^(-2)z' - 2x^(-3)z
なので，もとの方程式は
w' = -2
となり，逆向きに解いていけば
w = C - 2x,
z = Cx^2 - 2x^3
y = ±(Cx^2 - 2x^3)^(-1/2)
と解を得ます．ここで C は積分定数です．

回答No.2

spring135

(dy/dx)+(y/x)=x^2*y^3 (1)

両辺にxをかける。

x(dy/dx)+y=x^3y^3　　　　　(2)

u=xyとする。

du/dx=xdy/dx+y

よって(2)は

du/dx=u^3

du/u^3=dx

積分して

(-1/2)(1/u^2)=x+c

u^2=-1/2(x+c)

x^2y^2=-1/2(x+c)

xy=1/√-2(x+c)

y=1/[x√-2(x+c)]

回答No.1

Ae610

z = xyと置いてzの微分方程式に帰着させる・・!

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
z=xyで変換しますと、dy/d(z/y)というものがでてくると思いますが、
これをどういうふうに処理すればいいですか。