微分方程式

質問

(d^2y/dx^2)+2dy/dx+ay=0 (aはa>1なる定数)について以下の問に答えなさい。
(1)初期条件y(0)＝１、y'(0)=-1を満たす解を求めんさい。
(2)前門で求めた解がy(π)=0を満たすような定数aの値を求めなさい。

(1)の解を求めたところ、
y=(e^-x)*cos(√(4a-4)/2)xとなりました。
そこで(2)なのですが
0=cos(√(4a-4)/2)πとし
(√(4a-4)/2)=1/2としたところa=5/4となりました。
cos○π＝0となるのは1/2πと3/2πがあると思うのですが
ほかに考えられるものはあるのでしょうか？？

回答No.2

info22

三角関数は周期関数だということはご存知ですね。
また余弦cos(x)は偶関数だということもご存知ですね。
y=cos(x)のグラフはかけますね。xは実数の範囲です。
y=0となるxの値を求めなさい。といった場合、xの範囲を実数とした場合、
xの値はどうなりますか？
cos(x)=0を満たすxは±(π/2)だけですか？
y=cos(x)のグラフは
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
のように実数の範囲で±1の範囲を周期的に往復しています。そしてy=0すなわちx軸と交わる点は無限にあります。その無限の2nπ±(π/2)[rad](nはすべての整数でy=0となりますので
cos(x)=0の解はx=±(π/2)だけだけでなく、それに周期2πの整数倍を加えた位相角と引いた位相角のすべてを含めたものが解ということです。

ｙ＝cos(x)はxひとつの値に対してyがひとつ決まります。
逆は正しくないですね。
yのひとつの値に対してxは無限個存在します。
xの範囲指定すれば、yに対するxの数も有限個にすることもできます。xの範囲を一周期に限定（-π≦x＜π）すれば、yに対するxの値が普通2個になります（y=±1の所は重解で重なって1個になります）。

回答No.1

info22

>(1)の解を求めたところ、
>y=(e^-x)*cos(√(4a-4)/2)xとなりました。

√内を4を√の外に出して約分すれば
y={e^(-x)}*cos{√(a-1)x}

y(π)=0から

±√(a-1)π＝2nπ±π/2

πで割って自乗して

a-1＝{2n±(1/2)}^2=(1/4)(4n±1)^2

a=1+(1/4)(4n±1)^2, n=0,1,2,3,...

三角関数の位相角は絶えず2nπがあることを考えてやらないといけません。
また、cos(x)が偶関数であることを忘れないように！

n=0,1,2,3,…と代入してaを求めて調べてみてください。
cosの位相角が
(1/2)πと(3/2)πやそれに2mπ加えた角度が出てきます。

お礼

回答ありがとうございます。
＞y(π)=0から
±√(a-1)π＝2nπ±π/2

なぜ±√(a-1)π＝2nπ±π/2がでてきたのでしょうか？？
頭が回りません。。すみません。