数理統計の問題です

質問

確率変数Xの期待値が存在する時、

lim_{x \to infty}[ x ( 1 - F( x ) ) ] = 0

となることを示す問題なのですが、上手くいきません。

分かる方がいたら、よろしくお願いします。

F(x)は分布関数です。

回答No.2

reiman · ベストアンサー

一ヶ所の修正（∞を-∞に）

fを密度関数とする。
xが正とする。
x≦s⇒|x|≦|s|なので
|x∫[s:x→∞]f(s)ds|≦|∫[s:x→∞]sf(s)ds|…(1)
ところで仮定により
lim[a→-∞,b→∞]∫[s:a→b]sf(s)ds
が収束するので
lim[b→∞]|∫[s:b→∞]sf(s)ds|=0…(2)
及び
lim[a→-∞]|∫[s:-∞→a]sf(s)ds|=0　＜＜＜＜使わないので関係ないが
(2)は
lim[x→∞]|∫[s:x→∞]sf(s)ds|=0…(2')
と同じこと。
(1),(2')より
lim[x→∞]|x∫[s:x→∞]f(s)ds|=0

お礼

ありがとうございます、とても素晴らしい解答です。

わたしもreimanさんのように数学ができるようになりたいものです。

回答No.3

nagi_szn

確率変数の分布が絶対連続型であるという仮定はないので、確率密度函数を持つときのみを証明しても不十分です。

Xは確率空間(Ω,F,P)で定義されたR-valued 確率変数とします。
仮定から、E[|X|]＜∞です。
また、定義函数を１_A等とかくことにします。
x→∞とするので、特にx＞0としてよいです。
x(1-F(x))=xP(X＞x)=E[x*１_(x,∞)(X)]=∫_Ω x*１_(x,∞)(X)P(dω)
ここで、x*１_(x,∞)(X)→0 (∀ω)であって、
x*１_(x,∞)(X)≦|X|　　(∀x＞0，仮定よりE[|X|]＜∞)
となることから、Lebesgueの収束定理より、
lim_{x→∞}x(1-F(x))=∫_Ω 0 P(dω)=0　　[終]

お礼

解答ありがとうございます。

ルベーグ積分はまだ勉強していないので難しいですが、使い道があると言うことが今後の勉強の支えになりそうです。

回答No.1

reiman

fを密度関数とする。
xが正とする。
x≦s⇒|x|≦|s|なので
|x∫[s:x→∞]f(s)ds|≦|∫[s:x→∞]sf(s)ds|…(1)
ところで仮定により
lim[a→-∞,b→∞]∫[s:a→b]sf(s)ds
が収束するので
lim[b→∞]|∫[s:b→∞]sf(s)ds|=0…(2)
及び
lim[a→-∞]|∫[s:∞→a]sf(s)ds|=0
(2)は
lim[x→∞]|∫[s:x→∞]sf(s)ds|=0…(2')
と同じこと。
(1),(2')より
lim[x→∞]|x∫[s:x→∞]f(s)ds|=0