数理統計の問題です

質問

数理統計の問題です。

実数aに対してＰ(Ｘ＜a)＝１ならばＥ[Ｘ]≦a は真か偽か

連続的確率分布の期待値の公式より
∫xP(X＜a)dx＝∫x dx
まではすぐわかったのですが、積分範囲がわからず先に進めません。一般的にはすべての実数、すなわち－∞～∞で積分しますが、この場合xが常にaより小さいことがわかっているので－∞～ａ　の範囲で積分すればいいのかと思ったのですがそれでもうまくいきません。
どなたかお答えいただければと思います。よろしくお願いします。

回答No.1

tanuka · ベストアンサー

確率密度関数をｐ（ｘ）とする
※小文字の「ｐ」です

このとき、
　Ｐ（Ｘ＜ａ）＝∫ｐ（ｘ）dx＝１で、積分の範囲は（－∞、ａ］

期待値は、
　Ｅ[Ｘ]＝∫ｘｐ（ｘ）dxで、積分の範囲は（－∞、ａ］

したがって
　Ｅ[Ｘ]＝∫ｘｐ（ｘ）dx≦∫ａｐ（ｘ）dx＝ａ∫ｐ（ｘ）dx＝ａ

※ｘがａ以下である確率は０

つまり
　Ｅ[Ｘ]≦ａ