加速度の式の意味

質問

運動の第二法則にm×d^2r/dt^2=Fという式があるのですが。この中の、d^2r/dt^2という式のところで、なんでd^2rの部分がd^2になるのかが全くわかりません。というよりも何故dが二乗できるのですか？dって一体何を表しているのですか？ここの部分がわからなくて困っています。どうか教えてください！（僕は微分の事はあまりよく知りません）。

回答No.4

tetsumyi

できるだけ簡単に考えましょう。
dはすごく小さい値を表しています。
rは位置ですがdrは位置の変化を表しdr/dtは１秒当たりの位置の変化つまり速度となります。
d^2rは位置の変化が増えたり減ったりする量を表しますから、d^2r/dt^2は１秒あたりの速度が変わる量、つまり加速度となります。
物を動かすのに重いものほど動き難いことからmを掛けると必要な力となります。
物理はできるだけ簡単に考えるとすぐに理解できます。

回答No.3

mak128

私も昔、似たようなことを疑問に思いました（笑）

「ｔで微分する」という意味を
(d/dt)
と書きます。

xをｔで微分する、というのは、
(d/dt)x
となるのですが、これを括弧を外すと、dx/dt、と書きます。

xをｔで２回微分する場合は、
(d/dt)(d/dt)x
となりますが、前の二つの括弧
(d/dt)(d/dt)
を算数の掛け算のように考えると、
(d^2/(dt)^2)
となりますね。

すると、
(d/dt)(d/dt)x＝(d^2/(dt)^2)x
と書けますね。

で、(dt)^2をdt^2と書くと、
(d^2/dt^2)x＝d^2x/dt^2
と書けます。

実は、dt^2、の部分は、(dt)^2、のことで、
d^2xの部分は、(d^2)x、なんですね。

回答No.2

hitokotonusi

時刻t1からt2のあいだに位置がr1からr2まで動いたとします。
このときの平均の速さは、Δr=r2-r1, Δt=t2-t1として

(r2-r1)/(t2-t1) = Δr/Δt

このとき、t1とt2を限りなくちかずけて行くとΔtは0に近づきます。
このとき、Δtが十分小さくなるとΔr/Δtはある一定値になるので、
これをdr/dtと書くという約束にします。
これが微分で、

dr/dt = lim(Δt→0) Δr/Δt

次に、時刻t2からt3のあいだに位置がr2からr3に変化したとします。
ただし、t3-t2 = t2-t1 = Δtとします。
すると、t1～t2のあいだの平均の速度とt2～t3のあいだの平均速度の二つが出てくるので、これをv(t1)=Δr(t1)/Δt、v(t2)=Δr(t2)/Δtと書いて区別します。

v(t1)=Δr(t1)/Δt = (r2-r1)/(t2-t1) = (r2-r1)/Δt、
v(t2)=Δr(t2)/Δt = (r3-r2)/(t3-t2) = (r3-r2)/Δt

位置と同じように速度の変化を考えると加速度は単位時間あたりの速度変化なので、平均の加速度は

Δv/Δt = (v(t2)-v(t1))/Δt
= [Δr(t2)/Δt - Δr(t1)/Δt]/Δt = Δ[Δr]/(Δt)^2　
(ただし、Δ[Δr]=Δr(t2) - Δr(t1) = (r3-r2)-(r2-r1) )

Δｔ→0としたときにはΔをdと書く約束になっているので
瞬間の加速度は

a = lim(Δt→0) Δ[Δr]/(Δt)^2 = d^2r/dt^2

つまり、d^2r/dt^2のd^2はΔ[Δr]からきていてΔrという量の変化分という意味です。Δr自身がrという量の変化分なので

Δ[Δr]は「ｒという量の変化分(Δ)」の変化分(Δ)

がΔ^2の意味で、このΔt→0の極限をとったものがd^2です。

回答No.1

okormazd

rをtで微分することを
dr/dt
と、書きます。
書き直すと、d/dt・(r)
です。
だから、
dr/dtをtで微分すると、上のrのかわりにdr/dtを入れればいいのだから、
d/dt・(dr/dt)
でしょう。
これで、形式的に、
d^2r/(dt)^2
になるでしょう。
rを１回微分すると、
dr/dt
もう１回微分すると、
d/dt・(dr/dt)=d^2r/(dt)^2
です。
これはrを２回微分することの記号です。
だから、d=(なんとか)
なんて求めることはできません。