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運動エネルギーの式導出と速度の意味について
- 運動エネルギーの式を導くためには、質量と加速度、力の関係を考える必要があります。
- 運動エネルギーの式は、速度と距離の関係を表しています。
- 速度を距離の関数として扱うことは一般的ではありませんが、運動エネルギーの計算においては必要となります。
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>運動してる質点の gと rが > g = At …(1) > r = Bt^3 …(2) >この例で質点は一つと考えていいですか？ そのつもりで書きました。 >しかし、質点が２つあって 各々をｇ(t)、ｒ(t)と表される場合を >「（dv／dt）がｇ（ｒ）と変形できるか？」がまだ理解できません。 質点２つが； (1) 互いに無関係に動くのなら そういう変形は全くできません。おのおの別個に運動方程式を作って解くしかありません。 (2) お互いの運動が 何らかの関係でつながってれば 書けます。言い替えれば；お互いが何かの規則で縛られて運動してるなら、その規則を使って 片方が今ここに居るから 他方はここだ、とか言えますね。（規則によりますが。） 例えば互いにバネでつながってるような あからさまな場合（原子とか分子は たいていこんな関係です）とか、坂道に同時に置かれた軽い玉と重い玉とか、質点1と質点2が衝突、、とかですね。 普通、力学の学習は、最初は質点1個、次に2個の衝突、多数（形がある剛体）、２個とバネ、多数とバネ（弾性体）、質点が有限の体積に変わって 風船のように横を押すと縦に脹らむ（流体の微小体積）、、、のように進んで行くと思います。
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- Teleskope
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誤記訂正 g = (A/ω)sin(arcsin(r/B)) = Ar/(Bω) ↓ g = (A/ω)sin（k arcsin(r/B)）
- Teleskope
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>> 私は（dv／dt）がｇ（ｒ）と変形できるか？を尋ねています。ｔの関数としての加速度が合成関数を考えた時ｒの関数としてすりかえられるのか？と疑問に思ったのです。<< なんの問題もないです。 例えば； 運動してる質点の gと rが g = At …(1) r = Bt^3 …(2) だとします。 (2)から、 t = (r/B)^(1/3) …(3) を得て(1)に代入すれば g = A(r/B)^(1/3) と書けます。 別の例で、 g = Asin(kt) …(4) r = Bsin(ωt) …(5) なる運動があったとして、(5)から t = (1/ω)arcsin(r/B) …(6) を得て(4)に代入すれば g = (A/ω)sin(arcsin(r/B)) = Ar/(Bω) と書けます。 (3)や(6)のように簡単に t= の式に書けない関数もありますが、それは人間が「式に書けない」だけで運動の本質は同じです。
- Teleskope
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１． その疑問を乗り越えるには、積分記号があっても無くても同じなので∫を取って話します。（積分記号の内部だからといって特別な世界ではないですから。外部と同じです。） ２． >> mg(r)dr は mg(r)(dr/dt)dt と書けるのか？ << 書けます、迷うことなくやってください。 (dr/dt)は速度なんだから、上記の質問は dr は Vdt と書いていいのか？ という質問と同じです。 速度×時間は移動距離だから、Vdtは時間dtの間に移動する距離です。それを drと表してるのです。rにただ形式的にdを付けてるのではありません。 （これを 記号操作の暗記だけで通り過ぎてしまったら君はたぶん力学挫折します。初等力学どまりです。) 3. 「次元のチェック」という自己検査法を覚えましょう。 ×を普通の掛け算記号だとして、 mg(r)(dr/dt)dt = 質量×加速度×距離 = 力×距離 出発したときと何も変わってませんね。すなわち 途中に重大な間違いは無いということです。（係数の２を忘れたとかまでは無理ですが。） このように、物理量の次元をチェックすれば、式変形が間違ってるか自分で判定できます。このチェックは素朴だけど強力で万能です。私自身もやってます。 ４． 余談； ───────→ これをベクトル ｒ とすれば、 ───────→⇒ drとはｒが少し変化したものだからこうだ。 ───────→ ↓dr これは r と方向が違うから r の変化drではない。別のベクトルだ。 と覚えては駄目ですよ。（電磁気の方でもこういう新人が少なくないのです。） 理数系はレンガを積むようなもので、最初の段で狂うとほとんど高くできません。しかも人間は刷り込み現象があって 最初の方で染まるほど抜け出すのに苦労するようです。 それから「お礼の欄」は、普通は 最後に〆るときに、気に入ったレスにだけ書いてるようです。それよりも「補足の欄」は一度しか書けないので、間違った場合の訂正や後での追加用に使ってる人が多いですね。
補足
>> mg(r)dr は mg(r)(dr/dt)dt と書けるのか？ << のところでtelescopeさんはｄｒと（dr／dt）ｄｔの比較に重点をおかれてますが、私は（dv／dt）がｇ（ｒ）と変形できるか？を尋ねています。 ｔの関数としての加速度が合成関数を考えた時ｒの関数としてすりかえられるのか？と疑問に思ったのです。
- Teleskope
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加速度が位置の関数である例 １．大砲（またはピストンエンジン） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |←─ R ─→● ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 砲身の断面積をAとすれば、弾丸うしろの体積はV=AR 断熱膨張の式は、圧力をPとして、 PV^k = Ｃ（一定） です。 kは1よりちょっと大きい定数ですが、仮に1だとします。 弾丸を押す力は、面積×圧力 だから F = AP = AC/V = AC/(AR) = C/R 弾丸の質量をmとすれば、Fによる加速度は a = F/m = C/(mR) となって、加速度が距離に反比例する例。 ２．バネ 壁┠─バネ──●重り 質量m バネは自分の固有の長さがあって、伸び縮みさせると元に戻ろうとする力 Ｆ を出します。 F = -kX kはバネの強さ Xは距離。例えば伸ばす側を＋とすれば縮む側は－。 式のマイナス符合の意味は、引き戻す力のベクトルFは 位置のベクトルX と反対向き。 この力がオモリを引き戻すので その加速度は、 a = F/m = -(k/m) X マイナス符合の意味は、加速度はXと反対向きに生じる ということ。 となって、加速度が距離に比例する例。 ということで、身の回りにいっぱいありそうです。 （No8は編集途中で誤転送しました、失礼。）
お礼
アドバイスありがとうございます。
補足
加速度を距離の関数として扱えることがわかりました。 そこで最初の運動エネルギーの式を合成関数の微分を使って変形するところに戻って考える時、 ∫ｍ（ｄｖ／ｄｔ）・ｄｒ＝∫Ｆ・ｄｒ －－－３ のｄｖ／ｄｔ（加速度）はｔ（時間）の関数ですが、距離の関数として考えることも出来るので ｄｖ／ｄｔ＝ｇ（ｒ）とすることにより ∫ｍ（ｄｖ／ｄｔ）・ｄｒ＝∫ｍｇ（ｒ）・ｄｒ で合成関数の微分と見なせ ∫ｍｇ（ｒ）ｄｒ＝∫ｍｇ（ｒ）（ｄｒ／ｄｔ）ｄｔ と変形できることになるのですか？
- Teleskope
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加速度が位置の関数である例 １．大砲（またはピストンエンジン） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ |←─ R ─→● ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 砲身の断面積をAとすれば、弾丸うしろの体積はV=AR 断熱膨張の式は、圧力をPとして、 PV^k = Ｃ（一定） です。 kは1よりちょっと大きい定数ですが、仮に1だとします。 弾丸を押す力は、面積×圧力 だから F = AP = AC/V = AC/(AR) = C/R 弾丸の質量をmとすれば、Fによる加速度は a = F/m = C/(mR) となって、距離に反比例する。 ２．バネ 壁┠─バネ──●重り 質量m バネは自分の固有の長さがあって、伸び縮みさせると元に戻ろうとする力 Ｆ を出します。 F = kX kはバネの強さ Xは距離。例えば伸ばす側を＋とすれば縮む側は－。 この力がオモリを引き戻すので その加速度は、 a = -F/m = -(k/m) X マイナス符合の意味は、引き戻すから ベクトル的に X と反対向き。 となって、距離に比例する。
>速度を距離の関数として扱うのはあまり見たことがありません。 速度は距離（位置）の時間微分ですから、距離の時間に関する導関数が速度、v = dr/dt (r: 位置)ということではないですか。
お礼
アドバイスありがとうございます。
補足
失礼しました。 私の疑問は＃６でｔｅｌｅｓｃｏｐｅさんが指摘された通りで加速度が距離の関数となることでした。
- Teleskope
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>> ｄｖ／ｄｔ＝ｇ（ｒ）となりますが速度は時間ｔの関数からｇ（ｒ）となり距離の関数に変更されますが速度は距離の関数とはどういう意味ですか？ << dV/dtは速度でなく加速度でしたね 気付かなかった。w 加速度が距離の関数である例は、なんと言っても地球の重力加速度です。 ｇ = γＭ/r^2 γは万有引力定数、Ｍは地球質量 余談１； 「VとdVは別物」と同様な例； 電気で電界Eというやつも、dE/dtすると磁界Bというものになってしまうんです。その磁界BをdB/dtすると電界Eに戻ります。これはこれで独特な世界です。 余談２； 人工衛星の続き；地球の引力Ｆは、衛星の進行方向V=dr/dtと常に直交してるから、 内積 F・dr = 常にゼロ ということは、速度エネルギの積分の式が常にゼロ、つまり人工衛星は速度エネがちっとも増えない減らない ということになりますね？ と言うことは「ずっと一定のスピードだ」ってことでいいでしょうか。 学校で、「力Fで押しても、動かなければ仕事したことにならない」とか習ったと思います。F・drの式は確かにそうですね。 しかし、今ここで「力Fが進行方向と常に直角ばかりでも、やっぱり仕事したことにならない」という新事実が。 素朴な直観に反する、いやな事例です。
お礼
アドバイスありがとうございます。
補足
>dV/dtは速度でなく加速度でしたね 気付かなかった。 私の疑問も加速度と距離の関数を指摘したつもりでした。 失礼しました。
- Teleskope
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いま、「その２」とあるのに気付いたので「その１」を探してみました。「(dv/dt)・drの内積が消える訳」の質問ですね、 余談100%ですが 内積が消えない例を示します。時計の針先のような円運動です。 下図は３時を指してます。 軸からの位置ベクトル ｒ ─────────→現在位置 ↓dr dt後の位置 = r+dr （ベクトル和） dt後の位置の 斜めベクトルは書けないので 想像で補ってください。 針先の速度 V = dr/dt → dr = Vdt 針先が動く向きは下向きですから dr も下向きです。 そして、時間とともに Vは円を描くのだから斜め左を向きますよね、つまりVの変化 dV/dt は r と反対向き、いつも回転軸を向いてるベクトルなのです。 つまり、dV/dt と dr は直交。とうぜん内積はゼロです。 よい実例は人工衛星です。drすなわち速度ベクトルVは地表と平行で、その変化dV/dtは地球の引力が原因ですから地球中心を向いてます。直交ですね。 内積が単に掛け算になるのは直線運動に限ります。 一般に力学（=物理）では； 速度Ｖのような物理量は Ｖ自体と 微小変化dV は別物です、これを誤って覚えると学習が進みません。 以上、余談でした。 今の問題も、クルマよりも列車が直線レールを走ってるようなイメージで考えた方が、雑念が混ざらず迷いが少ないような気がします。
お礼
アドバイスありがとうございます。
- seyber
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きっぱり、この道超ド素人です。＾＾ 私だと、α＝ｖｔでやってしまいます。 んで、ｖｔ＝ｒ 時速６０キロで１分移動＝１キロ！＾＾； （単純に計算してま。） ｄｖ／ｄｔ＝ｇ（ｒ） だと時間が増えると距離地減るんじゃ？ 違ったらごめん。 超素人です。＾＾；
お礼
アドバイスありがとうございました。
補足
＞ｄｖ／ｄｔ＝ｇ（ｒ） ＞だと時間が増えると距離地減るんじゃ？ なぜこう思われるんですか？
- Teleskope
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>> 一般の距離と速度の関係例えば自動車が走行している時の距離と速度は関数にはしにくいと言うか、関数はないですね。<< 現実のクルマの運行は単純な式に書けないですが、それをもって「関数は無い」とは言いません。その論法に留まるなら力学以前の話になってしまいます。 例えばウソ発見器のような紙にペンでアナログ記録する速度記録計を搭載したクルマ。その記録紙の図形がv(t)です。
お礼
アドバイスありがとうございました。
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- 2
お礼
どうもありがとうございました。 理解できました。
補足
> 例えば； >運動してる質点の gと rが > g = At …(1) > r = Bt^3 …(2) >だとします この例で質点は一つで、その質点の運動について 例えば、ｇは時間ｔの関数として距離を表し、ｒは時間ｔの関数として加速度を表していると考えていいですか？ これなら理解できますが、 しかし、質点がｇ、ｒの２つあり各々が時間ｔの関数でｇ、ｒの様に表すということなら 「（dv／dt）がｇ（ｒ）と変形できるか？」がまだ理解できません。 固い頭で申し訳ないです。