ケプラーの法則より万有引力を導く

質問

初投稿、大学生をやってます。課題が出たのですが上手く解けないのでどなたかアドバイスをお願いします。

ケプラーの第一法則より楕円を極座標で表すと
l/r=1+εcosθ ・・・（１）
r:太陽からの距離、θ:方位角、ｌ,ε:定数
ｒとθを時間の関数とみなし、この式を時間で微分し、ケプラーの第二法則、面積速度一定
r^2*dθ/dt＝H=CONST(一定)　　　・・・（２）
を用いた後、再度時間で微分を取ることにより、θを含まないｒの時間に関する2回微分方程式を導き、力が距離rの事情に反比例することを示せ。

（1）式を整理してｔで一回微分する。
0＝dr/dt+dr/dt*cosθ+r*-sinθ ・・・（３）

dr/dtについて考える、↓（２）式を整理して代入する
dr/dt=dr/dθ*dθ/dt　　→　=h/(r^2)*dr/dθ 　（４）

（３）式にdt/dr（4）式を代入する。
-h*h/(r^2)*dr/dθ-h*h/(r^2)*dr/dθ*cosθ-ｒsinθ＝0
さらにtで微分する。・・・微分が上手くできません。
後、この問題での力ってどういう方程式で表せばいいのでしょうか？
f(r)=^Gmm/r^2を使ってしまうとそのまま答えなので駄目だと思ってるのですが・・・

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

> f(r)=^Gmm/r^2を使ってしまうとそのまま答えなので駄目だと思ってるのですが・・・
そりゃそうですよね．

l (小文字のエル)は数字の１(イチ)と区別がつきづらいので
大文字の L にします．
(1)をそのまま t で微分すれば(2)が使いやすいでしょう．
左辺を微分したものが -(L/r^2) (dr/dt) ですから，
r^2 を両辺に掛ければ r^2(dθ/dt) がうまいこと出てきます．

これで
(a)　　dr/dt = (H/L)εsinθ
ですね．
もう一回 t で微分し，dθ/dt は(2)で始末し，cosθは(1)を使えば，
式からθが追い出せます．

> この問題での力ってどういう方程式で表せばいいのでしょうか？
２次元極座標で表した動径方向の運動方程式が
(b)　　m{(d^2 r/dt^2) －r(dθ/dt)^2} = f(r)
であることを使うのです．
{　} 内がちょうど上でθを追い出した式の一部になっています．

お礼

わかりやすい説明をありがとうございます。単純に微分が間違っていたのと進め方も違ったんですね。
最終的に
f(r)=mh^2/L/(r^2)
となり、力が距離ｒの二乗に反比例することを確認しました。