証明問題について教えてください

質問

「剛体全体の運動量は全質量に重心の速度を乗じたもの」という定理を証明するために自分で考えてみました。
まず、rを任意の点からの距離、rgを重心、Ｍを全質量、ρ(r)を密度、dVを微小体積とすると、
定義より、rg=∫ρ(r)*rdV/M
が成り立ち、この式の両辺にMをかけ、時間tで微分すると
M(d/dt)rg=(d/dt)r∫ρ(r)dV
となることから、剛体全体の運動量は全質量に重心の速度を乗じたものである。

以上で証明はできているでしょうか。
根本的な部分から間違っていたら、証明の指針だけでも教えていただけるとありがたいです。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

質点の集合と考えた方がわかりやすいと思います。
剛体を構成する質点に番号iをつけて，質量mi，位置riとします。
rg=Σ(miri)/M により，
Σmidri/dt = d/dt・Σ(miri) = d(M rg)/dt = M drg/dt
以上の証明では，「剛体であること」は使っていません。なぜなら，
「全体の運動量は全質量に重心の速度を乗じたもの」というのは
剛体でなくとも成り立つからです。

さて，これを積分の形にするとおっしゃるとおりになりそうです。
しかし，微小部分の運動量をρ(r)dr/dt dV と書くことには，すでに
指摘があったように問題があります。ρ(r)のrは剛体内にわたる
積分変数，dr/dtは微小部分の速度を表しており２つのrは意味合いが
異なります。単にρと書いて微小体積dVの密度とし，剛体であるから
その位置rが時間とともに変わっても，剛体内の特定のdVにおいて定数
であるとするしかありません。そうすることで時間微分の内外への
出し入れが自由にできるわけです。この紛らわしさがあるので，
与えられたような要求にこたえる場合，連続体だからといって積分の
表現にこだわった説明はあまり使われないようです。

補足

回答ありがとうございます。
つまり、「剛体である（質点間の距離が変化しない）＝密度は一定である」
ということを利用して証明する。という理解で良いのでしょうか。

回答No.1

phyonco

rは積分変数ですよね。どうしてそれを時間で微分出来るのですか？
しかもそれを積分の外に出すには更に仮定が必要です。
あなたの証明は剛体であることをどこにも使っていません。剛体である
ことをρを使って言い表せば、自ずと答えが見えてくるはずです。

補足

回答ありがとうございます。
ｒは定数ではないですから積分の外には出せないですよね。
気づきませんでした。
質点相互の位置が変わらないもののことを剛体といい、ある質点の座標をｒとすると、r-rg=一定ということはわかるのですが、密度ρを使って剛体であることを表すのはわからないです。
勉強します。