式の変換で。

質問

円錐曲線を描く質点の、動径方向と方位角方向の運動方程式

　　　ｍ{d^2r/dt^2－r(dφ/dt)^2}＝f(r)　・・・１)
　　　ｍ(1/r)・d/dt(r^2・dφ/dt)＝0　　　　・・・２)

２)より角運動量保存則が導けるので

　　　　　r^2・dφ/dt＝ｈ(一定)

とすると、これより

　　　　　d/dt＝(h/r^2)d/dφ　　　　　・・・３)

とすることができdtが消去できる。
　問題はここからなんです。

　ここで、1/r＝zとして１)式をzの式に変換する際、どうしても

　　　　　(dz/dφ)^2

の項を消すことができず、

　　　　　d^2z/dφ^2－(2/z)(dz/dφ)^2＋z＝－f(1/z)/ｍh^2z^2

になってしまいます。
因みに答えは

　　　　　d^2z/dφ^2＋z＝－f(1/z)/ｍh^2z^2

です。
それから ^2 は二乗の意です。
だれか教えてください。お願いいたします。

回答No.1

nikorin · ベストアンサー

主要部分のみ計算します。
dをφでの微分とします。
3)式にあるように、d/dt=(h/r^2)d なので
1式の左辺１項目は
mh^2z^2(d(z^2(d(1/z)))
となります。
問題はd(z^2(d(1/z)))の部分です。
これを計算してみます。
d(z^2(d(1/z))) = d(z^2)d(1/z)+z^2d^2(1/z)
　　　　　　　　= 2z(dz)(-1/z^2)(dz)+z^2d^2(1/z)
ここで、
d^2(1/z)=d(d(1/z))
　　　　=d(-1/z^2(dz))
　　　　=2/z^3(dz)^2-(1/z^2)d^2z
よって、
d(z^2(d(1/z))) = 2z(-1/z^2)(dz)^2+z^2(2/z^3(dz)^2-(1/z^2)d^2z)
　　　　　　　　= 2/z(dz)^2+2/z(dz^2)-(1/z^2)d^2z
　　　　　　　　=-(1/z^2)d^2z.

で、(dz/dφ)^2は相殺しています。
読みにくくてすみません。ノートに書いてチェックしてみてください。

お礼

なるほど、納得しました。
詳しい計算までしてくださって、
丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.2

guiter

詳しい計算は nikorin さんがされていますが
darah さんがミスされているところは
　d/dt＝(hz^2)d/dφ
が成り立つことから
　d^2/dt^2＝(hz^2)d/dφ{(hz^2)d/dφ}
のようにせずに
　d^2/dt^2＝(hz^2)^2(d/dφ)^2
としてしまったところですね。

お礼

ご指摘どうもありがとうございました。