逆三角関数について

質問

質問です。

(tan^-1 X) － Y(tan^-1 XY) = A

上の式はYについて解くことは出来ないでしょうか？
解くことができるのか、できないのかすら
判断できずに困っています。。

解くことが出来る場合、答えを教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.6

noname#101087

乗りかかった船です。
atan( ) を周期πずつずらしていけば？
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　atan(X) － Y*atan(XY) = A　　… (1)
にて、
　-π/2 ≦ atan(X), atan(XY) ≦π/2
　θm = atan(X) + mπ
　B = θm - A
　XY = Z
とすれば、
　B = (Z/X)*atan(Z)
　Z = B*X/atan(Z)　　… (2)
　　　↓
　-π/2 ≦ atan(Z) ≦π/2
　θn = atan(Z) + nπ
として、式(2) にて逐次代入。
　Z' = B*X/θn　　… (3)
解があれば不動点へ収束してくれるらしい。(Z' → Z)

収束速度がスローなのは、解の限界近くでした。

回答No.5

noname#101087

ミスだらけ。またまた、訂正。
------------------

atan(X) － Y*atan(XY) = A だとして、-π/2 ≦atan(X), atan(XY)≦π/2 で解がある例を簡単にトライしてみました。

回答No.4

arrysthmia

「一価でない」はウッチャリだなぁ。
√ だって、二乗の逆写像は一価でないが、
枝を選んで関数と考えることができた。

とはいえ、質問の関数は望み薄。
w tan w = z　⇔　w = τ(z)　となる関数 τ を定義すれば、
Y = { (arctan x) - A } / τ( X{ (arctan x) - A } ) と
表示することまではできるけれど、
この τ を初等関数で表示するアテがない。

ただし、τ が初等的に表示できないことを、
「できそうにない」という感想ではなく、
正しく証明するのは、かなり厄介だと思う。

τ は、ランベルトの Ｗ 関数を使って
表示することはできるかもしれない。

回答No.3

noname#101087

ミスを訂正。
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B = atan(X) - A とおき、
　Y = B/atan(XY)
と変形して逐次代入してみると、不動点へ収束するが、ものすごくスロー。

回答No.2

noname#101087

>(tan^-1 X) － Y(tan^-1 XY) = A
>上の式はYについて解くことは出来ないでしょうか？....

atan(X) － Y*atan(XY) = A だとして、-π/2 ≦X, Y≦π/2 で解がある例を簡単にトライしてみました。

B = atan(X) - A とおき、
　Y = (1/X)atan(B/Y)
と変形して逐次代入してみると、不動点へ収束するが、ものすごくスロー。

回答No.1

info22

>上の式はYについて解くことは出来ないでしょうか？
解けませんね。
yはxの一価関数にはなりませんね。
y=f(x)では表せません。

xに対してyは二価関数になり、X軸対称のグラフになります。
Aが与えられれば、xを与えればyが数値計算により　2つ決まります。
（２つは異符号で絶対値は同じ）。

Aをパラメータにした　
arctan(x) - y arctan(xy) = A
のグラフを添付しておきますので参考にして下さい。

お礼

早速のお返事どうもありがとうございました！
やっぱり解けないのですね。。

添付が見当たらないのですが、再度送っていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします！