逆三角関数の導関数

質問

逆導関数の求め方ですが、下記の６問を逆導関数の数式にあてはめて解いても解けませんでした。
そこで途中の解き方を拝見したいと思い投稿しました。宜しくお願いします。　すべてでなくともどれか一つでも分かれば宜しくお願いします。

(1)　y=Tan^1 √x

(2)　y=Cos^1 x/3

(3) y=Sin^1 (x-1)/√3

(4)　y=√x ・Sin^1 x

(5) y=(Tan^1 x )^2

(6) y=1/(Sin^1 x)

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

逆関数は肩に「^-1」を付けるか、「arc」を前につけて表記します。

(1)　
y=Tan^-1(√x)

tan(y)=x^(1/2)
sec^2(y)*y'=(1/2)x^(-1/2)
{1+tan^2(y)}y'=(1/2)/√x
(1+x)y'=(1/2)/√x
y'=1/{2(1+x)√x}

(2)　
y=Cos^-1(x/3) (-3≦x≦3,0≦y≦π)
cos(y)=x/3

-sin(y)*y'=1/3
0≦y≦πよりsin(y)≧0なので
-√(sin^2(y))*y'=1/3
√(1-cos^2(y))}y'=-1/3
√(1-(x/3)^2)*y'=-1/3
y'=-1/{3√(1-(x/3)^2)}=-1/√(9-x^2)

(3) y=Sin^-1{(x-1)/√3}(1-√3≦x≦1+√3,-π/2≦y≦π/2)
sin(y)=(x-1)/√3
cos(y)y'=1/√3
-π/2≦y≦π/2よりcos(y)≧0なので
√(cos^2(y))*y'=1/√3
√(1-sin^2(y))*y'=1/√3
√(1-(1/3)(x-1)^2)*y'=1/√3
y'=1/{(√3)√(1-(1/3)(x-1)^2)}
y'=1/√(3-(x-1)^2)
または
y'=1/√(2+2x-x^2)

(4)　
y=√x・Sin^-1(x) (0≦x≦1,0≦y≦π/2)
sin(y*x^(-1/2))=x
cos(y*x^(-1/2))*{y*x^(-1/2)}'=1
cos(y*x^(-1/2))*{y'x^(-1/2)+y*(-1/2)x^(-3/2)}=1
0≦x≦1,0≦y≦π/2 より
|y*x^(-1/2)|≦1,0≦cos(y*x^(-1/2))なので
√{cos^2(y*x^(-1/2))}*{y'-(1/2)(y/x)}(x^(-1/2))=1
√{1-sin^2(y*x^(-1/2))}*{y'-(1/2)(y/x)}=√x
√(1-x^2)*{y'-(1/2)(y/x)}=√x
y'-(1/2)(y/x)=(√x)/√(1-x^2)
y'=(1/2)((Sin^-1(x))/√x)+(√x)/√(1-x^2)
y'=((√x)/√(1-x^2))+(Sin^-1(x)/(2√x))

(5)
y=(Tan^-1(x))^2 (|Tan^-1(x)|≦π/2,x:実数全範囲)
tan(√y)=x (y≧0)
xで微分
sec^2(√y)*(√y)'=1
{1+tan^2(√y)}(1/(2√y))y'=1
y'=(2√y)/{1+tan^2(√y)}
y'=2Tan^-1(x)/(1+x^2)

(6)
y=1/Sin^-1(x) (-1≦x≦1,-π/2≦1/y≦π/2)
sin(1/y)=x
xで微分
(1/y)'*cos(1/y)=1
-(y'/y^2)*cos(1/y)=1
y'=-y^2/cos(1/y)
-π/2≦1/y≧π/2より cos(1/y)≧0
y'=-y^2/√{1-sin^2(1/y)}
y'=-{1/(Sin^-1(x))^2}/√(1-x^2)
y'=-1/{(√(1-x^2))(Sin^-1(x))^2}

お礼

ありがとうございます。詳細に書いていただいたおかげて、自分自身の間違いに気づくことができました。このような問題を簡単にやってのけるinfo22さんに関心です。誠に感謝いたします。