三角関数を教えてください！

質問

いつもお世話になっております。早速ですが、

X = tan^－1 ((A sinY + B cosY)/(A cosY － C sinY + D)) - Y

の式を、Y = ・・・ の式にしたいのですが、どうなるのでしょうか？

とある文献に出ていた式で、先に進むことができない状況です・・・。

以前も別の案件でお聞きして、今回（自分なりに）頑張ってみたのですが、さっぱりでした。。。

どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#2,3です。

A#3の補足の質問について

>ところでこの式のシステムは実際に稼働しております。
Yを制御したいのですが、システム上直接Yを制御することが困難なので、Xを制御して間接的にYが程よい値に制御されているみたいなんです。
なので、実際には4つの変数はある程度の（二価にならない）範囲でしか振れていないということなのでしょうかね。

そのようですね。A,B,C,Dの値やXの振れ幅によっては（つまりYの2価以上の分岐点を超えなければ）、たとえ２価以上の関数になっていてもYもほどよく制御されることはあるでしょうね。今回の福島原発の想定外の津波の大きさのように、Xが想定外の振幅までぶれたときは2価以上の関数区間では、Yが他の安定点に移ってしまうこともありうるでしょう。

参考までにA=1,C=D=2,-π/2≦Y≦0という条件で、B=-64～+32まで変化させた場合のYとXの関係の図を添付します。B≦4ではYはXの一価関数（したがって逆関数存在、絶対安定）、それ以上のBでは3価関数（Xによっては不安定）になることを表しています。

お礼

ご連絡が遅れまして大変申し訳ありませんでした。
丁寧教えていただきありがとうございました。
何とか理解していきたいと思います。

回答No.4

rnakamra

#1の回答者です。

区間を区切ってもXとYが1対1ではない可能性があるため逆関数という形では得られない可能性が高い。
ただし、これはYをXで表すことが全く出来ないというわけではありません。
#1で挙げた方法を使えば、YをXで表す式が最大で4個得られる可能性があります。
(実際に条件を入れて計算していないため断言は出来ませんが場合によっては解なしということもありえる。もちろん実数解に限るが)

ただ、その方程式を解くことはかなり困難であることは間違いなさそうです。
A,B,C,D,Xの値次第ではαに関する方程式の次数が下がる(上がることはありません)ため、かなり場合わけが多い式になりそうです。

お礼

再びご回答ありがとうございます。
#3の方へのお礼欄にも記載させていただきましたが、この式のシステムは実際に稼働しております。
実際の変数の範囲は、ごく限られた１つの方程式で表せるということでしょうか。。

改めてrnakamra様の最初の回答を見直してみましたが、ちょっと私には難解すぎかな、と半ばあきらめモードです。。。

最初の回答の中盤以降、なぜ（☆）に代入するのか、何を代入するのかが、よくわからないです、、、。

ちょっと私にはレベル高すぎなのかな～。

補足

何度もすみません。回答１で示していただいたこと、少し理解できてきました。

結果として、いくつかの解が得られ、これらに変数を現状システムの範囲で振ってみて、妥当な数値が得られる方程式が本システムで使われている方程式、ということなのかな。。

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の補足の質問について

>一価関数とは解が一義的に求まらないということでしょうか。
関数関係 v=h(u) で独立変数u（の変域）に対して従属変数 v が常にただ１つだけ定まるときh(u)はuの一価関数といいます。
具体例として、y=f(x)=(x+1)^2 における y=f(x) は x の一価関数ですが、yを独立変数、xを従属変数x=g(y)
=f^-1(y)とした場合　g(y)は一価関数とは言えないですね。y=4としたときx=-3,1とxが2つ存在するので２価関数となってしまいます。

>実際には、Yは-π/2～0の範囲になるのですが、この条件なら逆関数を求めることはできるのでしょうか。
そのようなYの範囲の条件を付しても、A,B,C,Dの条件により、逆関数が存在しない場合、存在する場合がありますので、逆関数が存在するとはいえません。存在しない逆関数を求めることは無理ですね。
A=2,B=0.2,C=2.2,D=-1.5の場合のX,Yの関係をプロットした拡大図(-π/2≦Y≦0の範囲を薄黄色で塗り潰してある）を添付しました。Y=f(X)とおいたとき、独立変数Xの値によってはYの条件範囲にYの値が0個～3個存在します。なのでYの条件だけでは逆関数を求めることは出来ません。
A,B,C,Dに特定の条件をつけ加えれば逆関数が存在するようにする事は可能でしょう。

お礼

再度ありがとうございます。
Yの範囲だけでなく、A,B,C,Dの条件によるんでしたね。
ところでこの式のシステムは実際に稼働しております。
Yを制御したいのですが、システム上直接Yを制御することが困難なので、Xを制御して間接的にYが程よい値に制御されているみたいなんです。
なので、実際には4つの変数はある程度の（二価にならない）範囲でしか振れていないということなのでしょうかね。。

回答No.2

info22_

X = tan^－1 ((A sinY + B cosY)/(A cosY － C sinY + D)) - Y
このグラフは
X=f(Y)とするとXはYの一価関数です。グラフはたとえばA=2,B=0.2,C=2,D=0.6の時、添付図のようになります。つまり、YはXの一価関数になりません。つまり逆関数は存在しません。
したがって一般的にはY=g(X)の形に表すことは不可能です。

補足

ご指摘いただきましてありがとうございます。
無知ですみません。
一価関数とは解が一義的に求まらないということでしょうか。
実際には、Yは-π/2～0の範囲になるのですが、この条件なら逆関数を求めることはできるのでしょうか。

回答No.1

rnakamra

エレガントな方法が思いつかない。
解くことは出来そうなので方針だけを説明する。

右辺の-Yを移項し、両辺のtanを取る。
tan(X+Y)=(AsinY+bcosY)/(AcosY-CsinY+D)
左辺を加法定理で展開する。(X=±π/2やY=±π/2の場合は別途検証が必要)
(tanX+tanY)/(1-tanXtanY)=(AsinY+bcosY)/(AcosY-CsinY+D) (☆)

ここで-π<Y<πと仮定しα=tan(Y/2)とおくと
sinY=2α/(1+α^2),cosY=(1-α^2)/(1+α^2),tanY=2α/(1-α^2)
となるからこれを(☆)に代入し整理するとαの4次方程式が得られる。
これは代数的に解けるので後はY=2arctanαとすればYの式が得られるはずです。

Yの範囲はXを用いて
-X-π/2<Y<-x+π/2
となるのでXの範囲によっては少し修正が必要かもしれません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
逆関数できないとのご回答もいただいており、挫折しそうです。。。