中３で習う三角形の面積比の証明をしてください！！

質問

三角形ABCのAB上にM、AC上にNをとり、MNを結ぶ。
すると、三角形ABC：三角形AMN＝AC×AB：AN×AM　となりますよね。
角Aが共通角になっているときの、相似ではない定理です。

これを証明したいのですが、どんなに頑張っても分かりません。
どなたか教えていただけませんでしょうか？

回答No.3

keiryu

♯1、♯2にもう少し丁寧に解説を試みると、
ＢＮを補助線で結び、3つに分かれた部分の面積をＳ1、Ｓ2、Ｓ3とすると、Ｓ1：Ｓ2＝ＡＭ：ＭＢで、Ｓ1＝Ｓ2×（ＡＭ/ＭＢ）
　（Ｓ1＋Ｓ2）：Ｓ3を同様に求める。
　この二つの式から、Ｓ1とＳ3をＳ2を使って表す。

　求めるのは、Ｓ1：（Ｓ1＋Ｓ2＋Ｓ3）だから、これを全て上のＳ2を使って表し、文字の計算を根気強くやれば、最終的に目的の式に行き着きます。
　力勝負で、少々、エレガントさには欠けますが、中学生だったらこの方法が分かりよいかもしれません。夏の勉強頑張ってください。

お礼

スゴィわかりやすいっっ！！完全に理解できました☆
ありがとうございます！！！
とっても助かりました！世の中には頭のいい人が多いですね～♪
ありがとでした☆☆

回答No.2

naniwacchi

#1の方の回答がエッセンスですね。

点Ｂと点Ｎ（または、点Ｃと点Ｍ）を補助線として結んでください。
すると、底辺の長さの比を用いることができます。

定理としなくても、この方法だけをしっかり抑えておくのがポイントだと思います。

お礼

アドバイスありがとうございますっっ！
なんかわかったかもしれません。

△AMN＝△ABC×（AN/AC)(AM/AB)
△AMN×AC×AB＝△ABC×AN×AM
△AMN：△ABC＝AN×AM：AC×AB

ってことですね？？？？♪
でもあってるのかな？

回答No.1

noname#250262

２つの三角形において、高さが同じである場合、
２つの底辺の比は、面積比に等しくなる。

また、
△ABN は △AMN × ( AB / AM ) であることが納得できるかどうかが前提となります。

お礼

回答有難うございます！！

△ABN＝△AMN×（AB/AM）は分かります。
△ABN：△AMN＝AB:AMからですよね。

高さが同じである場合、
２つの底辺の比は、面積比に等しくなる。というのも理解しています。

ですが、そのことがこの証明につながりません(;￫д￩)。。