辺の長さが等しいことの証明

質問

三角形の合同条件が導けないので質問します。
問題は、「角Aが直角の直角二等辺三角形ABCの頂点Aを通って、BCに平行にひいた直線上にDをBD=BCにとり、BDと辺ACの交点をEとすれば、CD＝CEである。」ことを証明する　です。
本では3通りの解法を紹介しているのですが、そのうち1つがわかりません。著者の考え方は、もしCD＝CEならば△CDEと△BCDは一つの底角Dを共有する2等辺三角形であるから、相似のはずである。したがって∠DBC=∠ACDとなるはずである。そこで∠ACDの移動を考え、DからACに平行線をひきBCとの交点をKとすると、∠CDK=∠ACD=∠DBC,よってDK^2=BK*CK、すなわちAC^2=BK*CKはずである。これはAB=ACから、
BK*CK=AK^2-AB^2=BD^2-AB^2=BC^2-AB^2=AC^2のように証明できる。と書いてあります。
自分がわからないのは、AK^2-AB^2=BD^2-AB^2の箇所です。AK=BDをいうために△ADK≡△DABを、2辺とその挟む角で証明しようとしましたがうまくいきませんでした。ADは共通、DからACに平行線をひいたので、平行四辺形ができAB=AC=DKよりAB=DK、しかし∠ADK≡∠DABが導けませんでした。
どなたか、AK=BDの証明を教えてください。お願いします。

回答No.1

tootattatato · ベストアンサー

寝付けなかったのでこんな時間に回答します汗

□ABKDが等脚台形であるための条件は満たしてますよね。

つまり、

補助線DKはACと平行となるように引いたので、これと元々の仮定であるAD//BCとから、□ACKDは平行四辺形であるのは自明だし、それゆえに、∠ABC=∠ACB=∠CAD=∠DKC、即ち、∠ABK=∠DKBが言えるので、等脚台形が成り立つ。

等脚台形ならば対角線は等しいのでAK=BDが言える。

ということですね。

その証明方法、抜粋ではなく一部始終のコピペとか出来ないですかね？興味あります(^^;)

お礼

分かりやすい証明ありがとうございます、参考にします。

補足

コピペはできないですが、投降した質問の元の問題は、「初等幾何のたのしみ(増補版)」　清宮俊雄　著　日本評論社のP.19からP.20に書いてあります。

回答No.3

tootattatato

#1,2です。出典ありがとうございます。早速調べてみます。

回答No.2

tootattatato

追記です。

等脚台形に拘らなくても、△ABKと△DKBの合同を、ほぼ同じ流れで示すことで、AK=BDを示すことも出来ますね。